Question

8．選擇合適的策略解決問題．

小正方形的邊長是1cm，依次作出如上圖所示的圖形，圖中第一個(gè)圖形的周長是10cm．
（1）第三個(gè)圖形是由16個(gè)正方形組成，它的周長是22cm．
（2）周長是46的圖形是第7個(gè)圖形，它是由64個(gè)正方形組成的．
②有一個(gè)數(shù)列為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
那么自然數(shù)2005在這個(gè)數(shù)列中嗎？若在，它是第幾個(gè)？若不在，請說明理由．

Answer 1

分析 ①首先找出規(guī)律：第1個(gè)圖形周長：10=4+6×1，
第2個(gè)圖形周長：16=4+6×2，
第3個(gè)圖形周長：22=4+6×3，
…
故第n個(gè)圖形周長：4+6n；
第1個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)：1+3=4=2×2，
第2個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)：1+3+5=9=3×3，
第3個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)：1+3+5+7=16=4×4，
…
故第n個(gè)圖形正方形個(gè)數(shù)：（n+1）×（n+1）．
②這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列：首項(xiàng)是1，公差是3，求末項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）；代入數(shù)據(jù)解答即可．

解答 解：①（1）（n+1）×（n+1）
=（3+1）×（3+1）
=4×4
=16
4+6n
=4+6×3
=4+18
=22（cm）
答：第三個(gè)圖形是由 16個(gè)正方形組成，它的周長是 22cm．

（2）4+6n=46
     6n=46-4
     6n=42
      n=7
（n+1）×（n+1）
=（7+1）×（7+1）
=8×8
=64
答：周長是46的圖形是第7個(gè)圖形，它是由64個(gè)正方形組成的．

②根據(jù)等差數(shù)列公式：末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）可得：
2005=1+（n-1）×3
2005=1+3n-3
  3n=2007
  n=669
答：自然數(shù)2005在這個(gè)數(shù)列中，它是第669個(gè)．

點(diǎn)評 ①此題關(guān)鍵是從簡單的情形入手分析，找出周長計(jì)算規(guī)律和拼湊圖形個(gè)數(shù)的規(guī)律，進(jìn)一步利用規(guī)律解決問題．
②本題考查了高斯求和公式的靈活應(yīng)用應(yīng)用，相關(guān)的知識點(diǎn)是：和=（首項(xiàng)+末項(xiàng)）×項(xiàng)數(shù)÷2；首項(xiàng)=末項(xiàng)-公差×（項(xiàng)數(shù)-1）；末項(xiàng)=首項(xiàng)+公差×（項(xiàng)數(shù)-1）；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）÷公差+1．