Question

3．由數字1，2，3組成五位數，要求這五位數中1，2，3至少各出現一次，那么這樣的五位數共有多少個？

Answer 1

分析 這是一道組合計數問題．由于題目中僅要求1，2，3至少各出現一次，沒有確定1，2，3出現的具體次數，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，即分1，2，3中恰有一個數字出現3次，和1，2，3中有兩個數字各出現2次，據此解答即可．

解答 解：分兩類 （1）1，2，3中恰有一個數字出現3次，這樣的數有：$C_3^1×5×4=60$（個）；
（2）1，2，3中有兩個數字各出現2次，這樣的數有：$C_3^2×5×C_4^2=90$（個）；
綜上所述符合題意的五位數共有：60+90=150（個）．
答：這樣的五位數共有150個．

點評 也可以從反面想，從由1，2，3組成的五位數中，去掉僅有1個或2個數字組成的五位數，即：從反面想：由1，2，3組成的五位數共有3⁵個，由1，2，3中的某2個數字組成的五位數共有3×（2⁵-1）個，由1，2，3中的某1個數字組成的五位數共有3個，所以符合題意的五位數共有3⁵-3×（2⁵-1）-3=150個．