Question

【題目】定義運算“⊙”如下:

對于兩個自然數(shù)a和b,它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為a⊙b.

比如:10和14,最小公倍數(shù)為70,最大公約數(shù)為2,則10⊙14=70-2=68.

(1)求12⊙21,5⊙15;

(2)說明,如果c整除a和b,則c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,則c也整除b;

(3)已知6⊙x=27,求x的值.

Answer 1

【答案】(1)；

(2) 如果c整除a和b,那么c是a和b的公約數(shù),則c整除a,b的最大公約數(shù),顯然c也整除a,b最小

公倍數(shù),所以c整除最小公倍數(shù)與最大公約的差,即c整除a⊙b.

如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍數(shù),再由c整除a⊙b推知,

整除a,b的最大公約數(shù),而這個最大公約數(shù)整除b,所以 c整除b.

(3)

【解析】(1)為求12⊙21,先求出12與21的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別為84,3,

因此12⊙21=84-3=81,同樣道理5⊙15=15-5=10.

(2)略

(3)由于運算“⊙”沒有直接的表達(dá)式,解這個方程有一些困難,我們設(shè)法逐步縮小探索范圍. 因為6與x的最小公倍數(shù)不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之間,只有30是6 的 倍數(shù),可見

6和x的最小公倍數(shù)是30,因此它們的最大公約數(shù)是30-27=3.

由“兩個數(shù)的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的積=這兩個數(shù)的積”,得到.

所以.