Question

【題目】已知函數(shù)（其中）.

（1）求函數(shù)的極值；

（2）若函數(shù)有兩個零點，求的取值范圍，并證明（其中是的導(dǎo)函數(shù)）.

Answer 1

【答案】詳見解析

【解析】

試題分析：（1）求出，令可得函數(shù)增區(qū)間，，可得函數(shù)的減區(qū)間，由單調(diào)性可得在處取得的極大值，函數(shù)無極小值；（2）由（1）知兩零點分別在區(qū)間和內(nèi)，不妨設(shè)，先證明，從而得，換元后，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最小值，進而可得結(jié)論.

試題解析：（1）由得，

當時，，若；若 ，

故當時，在處取得的極大值；函數(shù)無極小值.

（2）當時，由（1）知在處取得極大值，且當趨向于時，趨向于負無窮大，又有兩個零點，則，解得.

又由（1）知兩零點分別在區(qū)間和內(nèi)，不妨設(shè).

則，

又，

兩式相減得，則，

所以

，

令，

則單調(diào)遞減，則，

所以.