Question

【題目】設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為，若對任意的，均有（k是常數(shù)且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”．

（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”？若存在，求出符合條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式及對應(yīng)的k的值；若不存在，請說明理由；

（3）若數(shù)列為“數(shù)列”， ，設(shè)，證明： ．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析；（3）見解析．

【解析】試題分析：（1）數(shù)列為“數(shù)列”，則，可得，兩式相減得： ，數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為；（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則有，故有兩式相減得同理可得： ，可得，又，即，兩者矛盾，從而可得結(jié)果；（3）利用錯(cuò)位相減思想，可得.

試題解析：（1）數(shù)列為“數(shù)列”，則

故，兩式相減得： ，又n=1時(shí)， ，所以，

故對任意的恒成立，即（常數(shù)），故數(shù)列為等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．

（2）假設(shè)存在這樣的數(shù)列，則有，故有

兩式相減得： ，故有

同理由是“數(shù)列”可得： ，

所以對任意恒成立

所以，即，又，即，兩者矛盾，故不存在這樣的數(shù)列既是“數(shù)列”，也是“數(shù)列”．

（3）因?yàn)閿?shù)列為“數(shù)列”，所以

所以

故有， ，又n=1時(shí)， ，故，滿足：

所以對任意正整數(shù)n恒成立，數(shù)列的前幾項(xiàng)為：1,2,3,5,8,

故

所以，

兩式相減得：

=，顯然，故，即．