已知函數(shù)f(x)=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx+
3
2
(ω∈R,x∈R)的最小正周期為π,且圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若函數(shù)y=1-f(x)的圖象與直線y=a在[0,
π
2
]上只有一個交點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)先根據(jù)兩角和與差的公式和二倍角公式進(jìn)行化簡,再由最小正周期求出ω的值,最后根據(jù)圖象關(guān)于直線x=
π
6
對稱確定函數(shù)f(x)的解析式.
(2)將(1)中函數(shù)f(x)的解析式代入到y(tǒng)=1-f(x)中,然后在同一坐標(biāo)系中畫出y=1-f(x)與y=a的圖象,進(jìn)而根據(jù)圖象可求出a的范圍.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)∵f(x)=
3
sinωx•cosωx-cos2ωx+
3
2

=
3
2
sin2ωx-
1
2
(1+cos2ωx)+
3
2
=sin(2ωx-
π
6
)+1,
∵函數(shù)f(x)的最小正周期為π,
|2ω|
=π,即ω=±1,
∴f(x)=sin(±2x-
π
6
)+1.
①當(dāng)ω=1時,f(x)=sin(2x-
π
6
)+1,
∴f(
π
6
)=sin
π
6
+1不是函數(shù)的最大值或最小值,
∴其圖象不關(guān)于x=
π
6
對稱,舍去.
②當(dāng)ω=-1時,f(x)=-sin(2x+
π
6
)+1,
∴f(
π
6
)=-sin
π
2
+1=0是最小值,
∴其圖象關(guān)于x=
π
6
對稱.
故f(x)的解析式為f(x)=1-sin(2x+
π
6
).
(2)∵y=1-f(x)=sin(2x+
π
6
)在同一坐標(biāo)系中作出
y=sin(2x+
π
6
)和y=a的圖象,
由圖可知,直線y=a在a∈[-
1
2
,
1
2
)
或a=1時,兩曲線只有一個交點(diǎn),
∴a∈[-
1
2
,
1
2
)
或a=1.
點(diǎn)評:本題主要考查兩角和與差的正弦公式和二倍角公式的應(yīng)用和最小正周期的求法.考查三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的簡單應(yīng)用和靈活能力.
練習(xí)冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=3•2x-1,則當(dāng)x∈N時,數(shù)列{f(n+1)-f(n)}( 。
A、是等比數(shù)列B、是等差數(shù)列C、從第2項(xiàng)起是等比數(shù)列D、是常數(shù)列

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦,B={x丨m<x-m<9}.
(1)若m=0,求A∩B,A∪B;
(2)若A∩B=B,求所有滿足條件的m的集合.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-x
+
1
x+2
的定義域?yàn)榧螦,B={x|x<a}.
(1)若A⊆B,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若全集U={x|x≤4},a=-1,求?UA及A∩(?UB).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3-ax
a-1
(a≠1)在區(qū)間(0,4]上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x.
(1)當(dāng)x∈[1,4]時,求函數(shù)h(x)=[f(x)+1]•g(x)的值域;
(2)如果對任意的x∈[1,4],不等式f(x2)•f(
x
)>k•g(x)
恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

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