Question

如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF⊥AE，EF分別交AC，CD于點(diǎn)M，F(xiàn)，BG⊥AC，垂足為C，BG交AE于點(diǎn)H．

（1）求證：△ABE∽△ECF；

（2）找出與△ABH相似的三角形，并證明；

（3）若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求EM的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形。

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠ABE=∠ECF=90°．

∵AE⊥EF，∠AEB+∠FEC=90°．

∴∠AEB+∠BEA=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE∽△ECF；

（2）△ABH∽△ECM．

證明：∵BG⊥AC，

∴∠ABG+∠BAG=90°，

∴∠ABH=∠ECM，

由（1）知，∠BAH=∠CEM，

∴△ABH∽△ECM；

（3）解：作MR⊥BC，垂足為R，

∵AB=BE=EC=2，

∴AB：BC=MR：RC=2，∠AEB=45°，

∴∠MER=45°，CR=2MR，

∴MR=ER=RC=，

∴EM=．