Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，C是弧AD的中點，弦CE⊥AB于點H，連接AD，分別交CE、BC于點P、Q，連接BD．
（1）求證：P是線段AQ的中點；
（2）若⊙O的半徑為5，AQ=，求弦CE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先利用等角對等邊證明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再證明PC=PQ，即可得到P是AQ的中點；
（2）首先證明：△CAQ∽△CBA，依據相似三角形的對應邊的比相等求得AC、BC的長度，然后根據直角三角形的面積公式即可求得CH的長，則可以求得CE的長．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CE⊥AB，
∴=．
又∵C是的中點，
∴=，
∴=．
∴∠ACP=∠CAP．
∴PA=PC，
∵AB是直徑．
∴∠ACB=90°．
∴∠PCQ=90°-∠ACP，∠CQP=90°-∠CAP，
∴∠PCQ=∠CQP．
∴PC=PQ．
∴PA=PQ，即P是AQ的中點；

（2）解：∵=，
∴∠CAQ=∠ABC．
又∵∠ACQ=∠BCA，
∴△CAQ∽△CBA．
∴===．
又∵AB=10，
∴AC=6，BC=8．
根據直角三角形的面積公式，得：AC•BC=AB•CH，
∴6×8=10CH．
∴CH=．
又∵CH=HE，
∴CE=2CH=．
點評：本題考查了圓周角定理以及相似三角形的判定與性質，三角形的面積公式，正確理解定理是關鍵．