Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠B=90°，DE∥AB，DE交BC于E，交AC于F，DE=BC，∠CDE=∠ACB=30°．
（1）求證：△FCD是等腰三角形；
（2）若AB=4，求CD的長．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEC=∠B=90°，然后在△DCE中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠DCE的度數(shù)，從而得出∠DCF的度數(shù)，在△CDF中根據(jù)等角對等邊證明出△FCD是等腰三角形；
（2）先證明△ACB≌△CDE，得出AC=CD，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求解即可．

解答：解：（1）證明：∵DE∥AB，∠B=90°，
∴∠DEC=90°．
∴∠DCE=90°-∠CDE=60°，
∴∠DCF=∠DCE-∠ACB=30°，
∴∠CDE=∠DCF，
∴DF=CF，
∴△FCD是等腰三角形；

（2）在△ACB和△CDE中，

∠B=∠DEC=90° BC=DE ∠ACB=∠CDE

，
∴△ACB≌△CDE．
∴AC=CD．…（4分）
在Rt△ABC 中，∠B=90°，∠ACB=30°，AB=4，
∴AC=2AB=8．
∴CD=8．…（5分）

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)和含30°角的直角三角形的性質(zhì)，綜合性極強，難度不大．