Question

已知∠B為△ABC的內(nèi)角，且sinB與cosB恰好為方程mx²-mx+p-4=0的兩根，以AB為直徑的⊙O交AC于D，取BC的中點(diǎn)E，經(jīng)過A、B、E的⊙O′交直線DE于F，如圖，連接AF．
（1）求證：EF為⊙O的切線；
（2）求證：AD²=AF•AB；
（3）若⊙O的半徑R=p，且AD：CD=2：3，求弦EF的長及tan∠ABF．

Answer 1

（1）證明：∵sinB與cosB是方程mx²-mx+p-4=0的兩根，
∴sinB+cosB=1，
∴sin²B+2sinBcosB+cos²B=1，
又sin²B+cos²B=1，
故：sinBcosB=0，
由于∠B為三角形內(nèi)角，
∴∠B≠0，
∴sinB≠0，
從而cosB=0，則∠B=90°；
連接OD、OE．如圖
∵O、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴OE為△ABC的中位線，
則OE∥AC，
∴∠CAB=∠EOB，∠ADO=∠DOE，
由于：OA=OD，
∴∠OAD=∠ADO，
∴∠BOE=DOE，
在△BOE與△DOE中：，
∴△BOE≌△DOE，
∴∠OBE=∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴EF為⊙O的切線；

（2）解：連接BD．
∵四邊形A、B、E、F四點(diǎn)共圓，且∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠AFE=90°，
由EF為⊙O的切線，
∴∠ABD=∠ADF，
又∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°=∠AFE，
∴△AFD∽△ADB，從而有AF：AD=AD：AB，
即有AD²=AF•AB；

（3）解：由于∠B=90°，
∴sinB=1，cosB=0，
∴sinB•cosB==0，
∵m≠0，p-4=0，
∴p=4，即R=4，
設(shè)AD=2x，則CD=3x，AC=5x，
在⊙O中，由切割線定理得：CD•CA=CB²，而CB²=AC²-AB²
∴3x•5x=（5x）²-8²
∴15x²=25x²-64，
解得：x=，
∴CB=4，
∴DE=CB=2，
且AD=2x=，又有AD²=AF•AB，
∴AF=（）²÷8=，則DF==，
∴EF=DE+DF=，
連接AE，則由圓周角性質(zhì)可知：
tan∠ABF=tan∠AEF=AF：EF=．
分析：（1）由sinB與cosB恰好為方程mx²-mx+p-4=0的兩根，sinB+cosB=1，而sin²B+cos²B=1，可得cosB=0，則∠B=90°；連接OD、OE，證明△BOE≌△DOE即可得∠OBE=∠ODE=90°；
（2）連接BD，由四邊形A、B、E、F四點(diǎn)共圓，且∠ABE=90，得到∠ABE=∠AFE=90°，然后證明△AFD∽△ADB，從而有AF：AD=AD：AB，
（3）由sinB•cosB==0，得p=4，即R=4，設(shè)AD=2x，則CD=3x，AC=5x，根據(jù)CD•CA=CB²，而CB²=AC²-AB²，得x=，CB=4，DE=CB=2，又有AD²=AF•AB，即可求出AF，再由勾股定理得到DF，由此得到EF．連接AE，則tan∠ABF=tan∠AEF=AF：EF．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線的判定方法．經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線．當(dāng)已知直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要連接圓心和這個(gè)點(diǎn)，證明這個(gè)連線與已知直線垂直即可；當(dāng)沒告訴直線過圓上一點(diǎn)，要證明它是圓的切線，則要過圓心作直線的垂線，證明垂線段等于圓的半徑．同時(shí)考查了三角函數(shù)、三角形相似的判定和性質(zhì)以及圓的切割線定理．