Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，在對(duì)稱(chēng)中心O處有一釘子．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P沿A→B→C方向以每秒2cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止；點(diǎn)Q沿A→D方向以每秒1cm的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D停止．P、Q兩點(diǎn)用一條可伸縮的細(xì)橡皮筋連接，設(shè)x秒后橡皮筋掃過(guò)的面積為ycm²．
（1）當(dāng)0≤x≤1時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，求x值；
（3）當(dāng)1≤x≤2時(shí)，寫(xiě)出橡皮筋從觸及釘子到運(yùn)動(dòng)停止時(shí)∠POQ的變化范圍； 并請(qǐng)?jiān)诮o出的直角坐標(biāo)系中畫(huà)出y與x之間的函數(shù)圖象．

Answer 1

分析：（1）由題意知，AQ=x，AP=2x，根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式，解答出即可；
（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，橡皮筋掃過(guò)的面積是正方形面積的一半，列式求出即可；
（3）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，∠POQ=180°，求出停止時(shí)，∠POQ的度數(shù)，即可知變化范圍；

解答：解：（1）由題意得，AQ=x，AP=2x，
∴y=

1

2

×x×2x=x²；

（2）當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，橡皮筋掃過(guò)的面積是正方形面積的一半；
∵AQ=x，PB=2x-2，
∴

1

2

×（x+2x-2）×2=

1

2

×2×2，
解得，x=

4

3

；

（3）由題意可得，
當(dāng)橡皮筋剛好觸及釘子時(shí)，∠POQ=180°，
停止時(shí)，OP=

2

，OQ=

2

，PQ=2，
∴OP²+OQ²=PQ²，
∴∠POQ=90°；
∴90°≤∠POQ≤180°；
如圖，
①當(dāng)1≤x≤

4

3

時(shí)，y=3x-2；
②當(dāng)

4

3

＜x≤2時(shí)，y=

3

2

x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用和正方形的性質(zhì)，（3）中要根據(jù)P、Q點(diǎn)的不同位置進(jìn)行分類(lèi)求解．