Question

如圖，正方形ABCD的邊長為4，P為對角線AC上一點，且CP=3

2

，PE⊥PB交CD于點E，則PE=

 

．

Answer 1

分析：作輔助線，連接BE，根據(jù)AB，AP的長和∠BAP的度數(shù)，可將BP²表示出來，同理可將PE²，BE²表示出來，在Rt△BPE中，根據(jù)勾股定理BP²+PE²=BE²，可將CE的長求出，進而可將PE的長求出．

解答：解：連接BE，設CE的長為x
∵AC為正方形ABCD的對角線，正方形邊長為4，CP=3

2

∴∠BAP=∠PCE=45°，AP=4

2

-3

2

=

2

∴BP²=AB²+AP²-2AB×AP×cos∠BAP=4²+（

2

）²-2×4×

2

×

2

2

=10
PE²=CE²+CP²-2CE×CP×cos∠PCE=（3

2

）²+x²-2x×3

2

×

2

2

=x²-6x+18
BE²=BC²+CE²=16+x²
在Rt△PBE中，BP²+PE²=BE²，即：10+x²-6x+18=16+x²，解得：x=2
∴PE²=2²-6×2+18=10
∴PE=

10

故答案為

10

．

點評：本題主要是利用勾股定理進行求解．