Question

【題目】四邊形ABCD的對角線交于點E，有AE=EC,BE=ED,以AB為直徑的半圓過點E，圓心為O．

（1）利用圖1，求證：四邊形ABCD是菱形．

（2）如圖2，若CD的延長線與半圓相切于點F，已知直徑AB=8．

①連結OE,求△OBE的面積．

②求弧AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①4，②p．

【解析】

試題 （1）利用對角線互相平分可先判斷四邊形ABCD為平行四邊形，再利用直徑對的圓周角是90°可得到AC⊥BD，就可判斷是菱形．（2）①連接OF，可得OF為△ABD邊AB上的高，可求得△ABD的面積為16，△AEB面積為△ABD的面積的一半，即等于8，△OEB的面積為△AEB面積的一半，即等于4；④過點D作DH⊥AB于點H．可得四邊形OFDH為矩形，在Rt△ADH中利用三角函數可求得∠DAH=30°，進而可求得∠AOE的度數，弧AE的長度可求．

試題解析：（1）∵AE="EC,BE=ED," ∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AB為直徑，且過點E，∴∠AEB=90°，即AC⊥BD．而四邊形ABCD是平行四邊形，∴四邊形ABCD是菱形．（2）①連結OF．∵CD的延長線與半圓相切于點F，∴OF⊥CF．∵FC∥AB,∴OF即為△ABD的AB邊上的高．S△ABD=AB×OF=×8×4=16．∵點O，E分別是AB,BD的中點，∴S△ABE=S△ABD=8,所以，S△OBE=S△ABE=4．②過點D作DH⊥AB于點H．∵AB∥CD，OF⊥CF,

∴FO⊥AB,∴∠F=∠FOB=∠DHO=90°．∴四邊形OHDF為矩形,即DH=OF=4．在Rt△DAH中，sin∠DAB＝＝,∴∠DAH=30°．∵點O,E分別為AB,BD中點，∴OE∥AD,∴∠EOB＝∠DAH=30°．∴∠AOE＝180°－∠EOB＝150°．∴弧AE的長=．