如圖,拋物線經(jīng)過A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點,過P作PM⊥x軸,垂足為M,是否存在P點,使得以A,P,M為頂點的三角形與△OAC相似?若存在,請求出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由;
(3)在直線AC上方的拋物線上有一點D,使得△DCA的面積最大,求出點D的坐標.
解:(1)∵該拋物線過點C(0,-2), ∴可設該拋物線的解析式為y=ax2+bx-2. 將A(4,0),B(1,0)代入, 得 ∴此拋物線的解析式為y= (2)存在 (4分) 如圖,設P點的橫坐標為m, 則P點的縱坐標為- 當1<m<4時, AM=4-m,PM=- 又∵∠COA=∠PMA=90°, ∴①當 △APM∽△ACO, 即4-m=2(- 解得m1=2,m2=4(舍去).∴P(2,1) (6分) �、诋� 解得m1=4,m2=5(均不合題意,舍去). ∴當1<m<4時,P(2,1), (7分) 類似地可求出當m>4時,P(5,-2).(8分) 當m<1時,P(-3,-14). 綜上所述,符合條件的點P為(2,1)或(5,-2)或(-3,-14) (9分) (3)如圖,設D點的橫坐標為t(0<t<4),則D點的縱坐標為- 過D作y軸的平行線交AC于E. 由題意可求得直線AC的解析式為y= ∴E點的坐標為(t, ∴DE=- ∴S△DAC= ∴當t=2時,△DAC面積最大. ∴D(2,1). (13分) |
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