【題目】如圖①,BC是⊙O的直徑,點(diǎn)A在⊙O上,AD⊥BC垂足為D,弧AE=弧AB,BE分別交AD、AC于點(diǎn)F、G.
(1)判斷△FAG的形狀,并說明理由;
(2)如圖②若點(diǎn)E與點(diǎn)A在直徑BC的兩側(cè),BE、AC的延長線交于點(diǎn)G,AD的延長線交BE于點(diǎn)F,其余條件不變(1)中的結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)在(2)的條件下,若BG=26,DF=5,求⊙O的直徑BC.
【答案】(1)△FAG是等腰三角形,理由見解析;(2)成立,理由見解析;(3)BC=.
【解析】
(1)首先根據(jù)圓周角定理及垂直的定義得到∠BAD+∠CAD=90°,∠C+∠CAD=90°,從而得到∠BAD=∠C,然后利用等弧對(duì)等角等知識(shí)得到AF=BF,從而證得FA=FG,判定等腰三角形;
(2)成立,同(1)的證明方法即可得答案;
(3)由(2)知∠DAC=∠AGB,推出∠BAD=∠ABG,得到F為BG的中點(diǎn)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到AF=BF=BG=13,求得AD=AF﹣DF=13﹣5=8,根據(jù)勾股定理得到BD=12,AB=4,由∠ABC=∠ABD,∠BAC=∠ADB=90°可證明△ABC∽△DBA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.
(1)△FAG等腰三角形;理由如下:
∵BC為直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AGB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∵,
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DAC=∠AGB,
∴FA=FG,
∴△FAG是等腰三角形.
(2)成立,理由如下:
∵BC為直徑,
∴∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠AGB=90°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠DAC=90°,
∵,
∴∠ABE=∠ACD,
∴∠DAC=∠AGB,
∴FA=FG,
∴△FAG是等腰三角形.
(3)由(2)知∠DAC=∠AGB,且∠BAD+∠DAC=90°,∠ABG+∠AGB=90°,
∴∠BAD=∠ABG,
∴AF=BF,
∵AF=FG,
∴BF=GF,即F為BG的中點(diǎn),
∵△BAG為直角三角形,
∴AF=BF=BG=13,
∵DF=5,
∴AD=AF﹣DF=13﹣5=8,
∴在Rt△BDF中,BD==12,
∴在Rt△BDA中,AB==4,
∵∠ABC=∠ABD,∠BAC=∠ADB=90°,
∴△ABC∽△DBA,
∴=,
∴=,
∴BC=,
∴⊙O的直徑BC=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形中,,為的中點(diǎn),將沿翻折得到,延長交于,,垂足為,連接、.結(jié)論:①;②≌;③∽;④;⑤.其中的正確的個(gè)數(shù)是( )
A.2B.3C.4D.5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與反比例函數(shù) (x<0)的圖象交于點(diǎn)B(﹣2,n),過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C,點(diǎn)D(3﹣3n,1)是該反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)若∠DBC=∠ABC,求一次函數(shù)y=kx+b的表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某玩具廠接的600件玩具的訂單后,決定由甲、乙兩車間共同完成生產(chǎn)任務(wù),已知甲車間工作效率是乙車間的2倍,乙車間單獨(dú)完成此項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)比甲車間單獨(dú)完成多用10天.
(1)求甲,乙兩車間平均每天各能制作多少件玩具;
(2)兩車間同時(shí)開工3天后,臨時(shí)又增加了90件的玩具生產(chǎn)任務(wù),為了使完成任務(wù)的總時(shí)間不超過7天,兩車間從第4天起各自提高工作效率,提高工作效率后甲車間工作效率仍是乙車間工作率的2倍,求乙車間提高效率后每天至少生產(chǎn)多少件玩具.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4張相同的卡片分別寫有數(shù)字﹣1、﹣3、4、6,將這些卡片的背面朝上,并洗勻.
(1)從中任意抽取1張,抽到的數(shù)字大于0的概率是______;
(2)從中任意抽取1張,并將卡片上的數(shù)字記作二次函數(shù)y=ax2+bx中的a,再從余下的卡片中任意抽取1張,并將卡片上的數(shù)字記作二次函數(shù)y=ax2+bx中的b,利用樹狀圖或表格的方法,求出這個(gè)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c的圖象經(jīng)過A(2,0),B(0,﹣6)兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;
(2)設(shè)該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,連接BA、BC,求△ABC的面積和周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】內(nèi)接于⊙,是直徑,,點(diǎn)在⊙上.
(1)如圖,若弦交直徑于點(diǎn),連接,線段是點(diǎn)到的垂線.
①問的度數(shù)和點(diǎn)的位置有關(guān)嗎?請(qǐng)說明理由.
②若的面積是的面積的倍,求的正弦值.
(2)若⊙的半徑長為,求的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,圖象過點(diǎn),對(duì)稱軸為直.下列結(jié)論:;;;若點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)在該函數(shù)圖象上,則; 若方程的兩根為和,且,則.其中正確的結(jié)論有( )
A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè)D.個(gè)
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【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù),a≠0)圖象的一部分,與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)(2,0)和(3,0)之間,對(duì)稱軸是x=1.對(duì)于下列說法:①ab<0;②2a+b=0;③3a+c>0;④a+b≥m(am+b)(m為實(shí)數(shù));⑤當(dāng)﹣1<x<3時(shí),y>0,其中正確的是( )
A. ①②④ B. ①②⑤ C. ②③④ D. ③④⑤
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