Question

如圖，正方形ABCD中，點E是AB上一點，DE的延長線交CB的延長線于F，連接FA交CD的延長線于G，連接CE交DA的延長線于H；
（1）若點E是AB的中點，寫出所有與AH相等的線段，并選其中一條證明；
（2）若點E不是AB的中點，判斷（1）中仍與AH相等的線段并證明．

Answer 1

分析：（1）與AH相等的線段有：AD，AB，BC，CD，GD，選擇AH=BC來證明，理由為：由四邊形ABCD為正方形，根據(jù)正方形的對邊平行，根據(jù)兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，由E為中點，得到AE=BE，利用AAS得到三角形AEH與三角形BEC全等，根據(jù)全等三角形的對應邊相等可得出AH=BC；
（2）由四邊形ABCD為正方形，根據(jù)正方形的對邊平行，根據(jù)兩直線平行得到兩對內錯角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似，可得出三角形AHE與三角形BCE相似，根據(jù)相似得比例可得出AH：BC=AE：EB，同理得到三角形AED與三角形BEF相似，根據(jù)相似得比例可得出AD：FB=AE：EB，等量代換可得出AH：BC=AD：FB，再由兩直線平行同位角相等可得出兩對同位角相等，根據(jù)兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形AGD與三角形FGC相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例得出GD：GC=AD：FC，變形后根據(jù)合比性質化簡，可得出GD：BC=AD：FB，可得出AH=GD，得證．

解答：解：（1）AH=AD=AB=BC=CD=GD，
選擇AH=BC說明，理由為：
∵四邊形ABCD是正方形，
∴DH∥CF，
∴∠H=∠BCE，∠EAH=∠EBC，
又點E是AB的中點，
∴AE=BE，
在△AEH和△BEC中，

∠H=∠BCE ∠EAH=∠EBC AE=BE

，
∴△AEH≌△BEC，
∴AH=BC；
（2）AH=GD，理由為：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴HD∥FC，
∴∠H=∠ECB，∠HAE=∠EBC，
∴△AEH∽△BEC，
∴

AH

BC

=

AE

BE

，
同理△AED∽△BEF，
∴

AE

BE

=

AD

BF

，
∴

AH

BC

=

AD

BF

，
∵AD∥FC，
∴∠GAD=∠GFC，∠GDA=∠GCF，
∴△AGD∽△FGC，
∴

GD

GC

=

AD

FC

，即

GC

GD

=

FC

AD

，
∴

GC-GD

GD

=

FC-AD

AD

=

FC-BC

AD

，即

CD

GD

=

FB

AD

，
∴

GD

CD

=

AD

FB

，
∴

AH

BC

=

GD

CD

，又BC=CD，
則AH=GD．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，正方形的性質，合比性質，以及平行線的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．