Question

【題目】如圖所示，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，，與軸交于，并且對(duì)稱(chēng)軸．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在軸上方的拋物線上，過(guò)的直線與直線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的最大值；

（3）點(diǎn)為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)坐標(biāo)；

Answer 1

【答案】（1）；（2）的最大值為；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法求解可得；

（2）先求AC解析式，作PH∥y軸交AC于H，作PG⊥y軸，設(shè)出P的坐標(biāo)，，由MN的解析式的特點(diǎn)判斷，利用三角函數(shù)把PM，PN的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化到PH，PG的上，利用及二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)一步求解可得；

（3）設(shè)D（-3，y），利用兩點(diǎn)間的距離公式得到 ，然后分類(lèi)：當(dāng)△ACD是以AC為直角邊、CD為斜邊和以AC為直角邊、AD為斜邊的直角三角形時(shí)，分別解方程求出y即可得到對(duì)應(yīng)的D點(diǎn)坐標(biāo)；

解：（1）∵拋物線過(guò)，對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

可設(shè)拋物線解析式為，將點(diǎn)代入，得：，

解得，則拋物線解析式為；

（2）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，

∴直線解析式為，

過(guò)點(diǎn)作軸交于，作軸于，

的解析式為，

，

，

，

的最大值為；

（3）①設(shè)，

則，

當(dāng)是以為直角邊、為斜邊的直角三角形時(shí)，

，即，

解得，此時(shí)；

當(dāng)是以為直角邊、為斜邊的直角三角形時(shí)，

，即，

解得，此時(shí)點(diǎn)；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．