Question

已知⊙的半徑為1，以為原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．有一個(gè)正方形，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），頂點(diǎn)在軸上方，頂點(diǎn)在⊙上運(yùn)動．

（1）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到與點(diǎn)、在一條直線上時(shí)，與⊙相切嗎？如果相切，請說明理由，并求出所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；如果不相切，也請說明理由；

（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，正方形的面積為，求出與的函數(shù)關(guān)系式，并求出的最大值和最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）CD與⊙O相切，y=（2）S，S的最大值為，S的最小值為  

【解析】（1）CD與⊙O相切。 1分

因?yàn)锳、D、O在一直線上，∠ADC=90°，

所以∠COD=90°，所以CD是⊙O的切線  3分

CD與⊙O相切時(shí)，有兩種情況：①切點(diǎn)在第二象限時(shí)（如圖①），

設(shè)正方形ABCD的邊長為a，則a²＋（a＋1）²=13，

解得a=2，或a=-3（舍去）                                             4分

過點(diǎn)D作DE⊥OB于E，則Rt△ODE≌Rt△OBA，所以，所以DE=，

OE=，所以點(diǎn)D₁的坐標(biāo)是（-，）                       5分

所以O(shè)D所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=                            6分

②切點(diǎn)在第四象限時(shí)（如圖②），

設(shè)正方形ABCD的邊長為b，則b²＋（b－1）²=13，

解得b=-2（舍去），或b=3                                             7分

過點(diǎn)D作DF⊥OB于F，則Rt△ODF∽Rt△OBA，所以，所以O(shè)F=，DF=，所以點(diǎn)D₂的坐標(biāo)是（，-）                         8分

所以O(shè)D所在直線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y=                             9分

（2）如圖③，

過點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²＋DG²=（BO－OG）²＋OD²-OG²=                              10分

所以S=AB²=                                          11分

因?yàn)?1≤x≤1，所以S的最大值為，

S的最小值為                                                   12分

（1）易證CD是⊙O的切線，根據(jù)Rt△ODE∽Rt△OBA得到DE的長，再求出D₁的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，求出函數(shù)解析式；

（2）過點(diǎn)D作DG⊥OB于G，連接BD、OD，則BD²=BG²+DG²=（BO-OG）²+OD²-OG²，所以S=AB²= BD²=7+ x，因?yàn)?1≤x≤1，所以S的最大值就可以求出．