Question

如圖所示，△ABC中，∠B=90°，點P從點A開始沿AB邊向B以1cm/s的速度移動，點Q從B點開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度移動．
（1）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，經(jīng)幾秒，使△PBQ的面積等于8cm²？
（2）如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進，經(jīng)過幾秒，使△PCQ的面積等于12.6cm²？

Answer 1

分析：（1）設x秒時．由三角形的面積公式列出關于x的方程，

1

2

（6-x）•2x=8，通過解方程求得x₁=2，x₂=4；
（2）過Q作QD⊥CB，垂足為D，構建相似三角形△CQD∽△CAB，由該相似三角形的對應邊成比例得到

QD

2x-8

=

AB

AC

，即QD=

6(2x-8)

10

；
然后由三角形的面積公式列出關于x的方程

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．由實際情況出發(fā)，來對方程的解進行取舍．

解答：解：（1）設x秒時，點P在AB上，點Q在BC上，且使△PBQ面積為8cm²，
由題意得

1

2

（6-x）•2x=8，解之，得x₁=2，x₂=4，
經(jīng)過2秒時，點P到距離B點4cm處，點Q到距離B點4cm處；
或經(jīng)4秒，點P到距離B點2cm處，點Q到距離B點8cm處，△PBQ的面積為8cm²，
綜上所述，經(jīng)過2秒或4秒，△PBQ的面積為8cm²；

（2）當P在AB上時，經(jīng)x秒，△PCQ的面積為：

1

2

×PB×CQ=

1

2

×（6-x）（8-2x）=12.6，
解得：x₁=

25+2 85

5

（不合題意舍去），x₂=

25-2 85

5

，
經(jīng)x秒，點P移動到BC上，且有CP=（14-x）cm，點Q移動到CA上，且使CQ=（2x-8）cm，
過Q作QD⊥CB，垂足為D，由△CQD∽△CAB得

QD

2x-8

=

AB

AC

，
即  QD=

6(2x-8)

10

，
由題意得

1

2

（14-x）•

6(2x-8)

10

=12.6，解之得x₁=7，x₂=11．
經(jīng)7秒，點P在BC上距離C點7cm處，點Q在CA上距離C點6cm處，使△PCQ的面積等于12.6cm²．
經(jīng)11秒，點P在BC上距離C點3cm處，點Q在CA上距離C點14cm處，14＞10，點Q已超出CA的范圍，此解不存在．
綜上所述，經(jīng)過7秒和

25-2 85

5

秒時△PCQ的面積等于12.6cm²．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的應用．靈活運用面積公式，列出方程，正確理解兩解，合理取合．