Question

如圖，在直角三角形AOB中，∠OAB=30°，AB=4，S_△AOB=6．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在線段OA上，
①當(dāng)直線BP將△AOB分成面積相等的兩部分時(shí)，求直線BP的解析式；
②PE⊥AB于E，連接BP．是否存在點(diǎn)P，使得PB與PE的和最��？若存在，請(qǐng)求出滿足條件時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

Answer 1

解：（1）∵∠OAB=30°，AB=4，
∴OB=AB=×4=2，
∵S_△AOB=OB•OA=×2•OA=6，
∴OA=6，
∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（0，6），B（2，0）；

（2）①當(dāng)點(diǎn)P為線段OA的中點(diǎn)時(shí)，直線BP將△AOB分成面積相等的兩部分，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，3），
設(shè)直線BP的解析式為y=kx+b，
則，
解得，
∴直線BP的解析式為y=-x+3；
②當(dāng)E為線段AB的中點(diǎn)時(shí)，PE與PB的和最�。�
理由如下：
作△AOB關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△AOC，
∵∠OAB=30°，
∴△ABC是等邊三角形，
過(guò)點(diǎn)B作BF⊥AC交OA于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB，根據(jù)軸對(duì)稱性可知PE=PF，根據(jù)垂線段最短可知點(diǎn)P為所求作的點(diǎn)，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，PA=PB，∠PBO=30°，
∴∠ABP=60°-30°=30°，
∴∠ABP=∠BAO=30°，
∴AP=BP，
在Rt△PBO中，∠PBO=30°，
∴PB=2PO，
∴OA=OP+AP=OP+2OP=6，
解得OP=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）．
分析：（1）根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出OB的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式求出AO的長(zhǎng)度，從而得解；
（2）①根據(jù)三角形的面積公式求出OP的長(zhǎng)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法列式求解即可；
②作△AOB關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形△AOC，可得△ABC是等邊三角形，作BF⊥AC，根據(jù)垂線段最短可得BF與y軸的交點(diǎn)就是所要求作的點(diǎn)P，求出∠BAP=∠ABP=30°，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AP=BP，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得BP=2OP，然后代入數(shù)據(jù)求出OP的長(zhǎng)度，從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)的問(wèn)題，待定系數(shù)法求直線的解析式，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，作軸對(duì)稱圖形，找出點(diǎn)P的位置然后再進(jìn)行說(shuō)明求解．