Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，點C為⊙O上一點，將弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合，連接OC，CD，BD，過點C的切線與線段BA的延長線交于點P，連接AD，在PB的另一側(cè)作∠MPB=∠ADC．

（1）判斷PM與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若PC=，求四邊形OCDB的面積．

Answer 1

【答案】（1）PM與⊙O相切，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）連接DO并延長交PM于E，如圖，利用折疊的性質(zhì)得OC=DC，BO=BD，則可判斷四邊形OBDC為菱形，所以OD⊥BC，△OCD和△OBD都是等邊三角形，從而計算出∠COP=∠EOP=60°，接著證明PM∥BC得到OE⊥PM，所以OE=OP，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥PC，則OC=OP，從而可判定PM是⊙O的切線；

（2）先在Rt△OPC中計算出OC=1，然后根據(jù)等邊三角形的面積公式計算四邊形OCDB的面積．

（1）PM與⊙O相切．

理由如下：連接DO并延長交PM于E，如圖，

∵弧BC沿直線BC翻折，使弧BC的中點D恰好與圓心O重合，

∴OC=DC，BO=BD，

∴OC=DC=BO=BD，

∴四邊形OBDC為菱形，

∴OD⊥BC，

∴△OCD和△OBD都是等邊三角形，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∴∠COP=∠EOP=60°，

∵∠MPB=∠ADC，

而∠ADC=∠ABC，

∴∠ABC=∠MPB，

∴PM∥BC，

∴OE⊥PM，

∴OE=OP，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴OC=OP，

∴OE=OC，

而OE⊥PC，

∴PM是⊙O的切線；

（2）在Rt△OPC中，OC=PC=，

∴四邊形OCDB的面積=2S△OCD=2××12=．