Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點、，且與軸交于點，拋物線的頂點為，連接，點是線段上的一個動點（不與、）重合.

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點的坐標；

（2）過點作軸于點，求面積的最大值及取得最大值時點的坐標；

（3）在（2）的條件下，若點是軸上一動點，點是拋物線上一動點，試判斷是否存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊若存在，請直接寫出點的坐標：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），D的坐標為（1，4）；（2）當m=時 △BPE的面積取得最大值為，P的坐標是（，3）；（3）存在，M點的坐標為；；；；；

【解析】

（1）先根據拋物線經過A（-1，0）B（3，0）兩點，分別求出a、b的值，再代入拋物線即可求出二次函數的解析式并得出頂點的坐標；

（2）先設出BD解析式y=kx+b，再把B、D兩點坐標代入求出k、b的值，得出BD解析式，再根據面積公式即可求出最大值以及點的坐標；

（3）根據題意利用平行四邊形的性質進行分析求值，注意分類討論.

解：（1）∵二次函數y=ax2+bx+3經過點A（﹣1，0）、B（3，0）

∴　　　

所以二次函數的解析式為：

D的坐標為（1，4）

（2）設BD的解析式為y=kx+b

∵過點B（3，0），D（1，4）

∴解得

BD的解析式為span>y = -2x+6

設P（m，）

PE⊥y軸于點E

∴ △BPE的PE邊上的高h=

S△BPE=×PE×h

=m()

=

=

∵a=-1<0 當m=時 △BPE的面積取得最大值為

當m=時，y=-2×+6=3

P的坐標是（，3）

（3）存在這樣的點，使得以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，

當點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形，可得BM平行于PN，則有N點縱坐標等于P點縱坐標，把y=3代入求出N的坐標（0，3）或（2，3），

當N的坐標（0，3）或（2，3）時，根據平行四邊形性質求得M點的坐標為�。�，；

當BP平行于MN時，根據平行四邊形性質求得M點的坐標為；；.

M點的坐標為：��；；；；.