Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥AC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)C作⊙O 的切線， 交OD的延長(zhǎng)線與點(diǎn)E，連接AE.

（1）求證：AE與⊙O相切；

（2）連接BD并延長(zhǎng)交AE于點(diǎn)F，若EC∥AB，OA=6，求AF的長(zhǎng)．

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可證得△COE≌△AOE，則可得∠OAE =∠OCE = 90°，從而證得結(jié)論；（2）4

【解析】

試題分析：（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OCE=90°，由OA=OC，OD⊥AC可得∠COE=∠AOE，即可證得△COE≌△AOE，則可得∠OAE =∠OCE = 90°，從而證得結(jié)論；

（2）設(shè)BF與OC相交于點(diǎn)G，先證得四邊形OAEC是矩形，再結(jié)合OA=OC可得矩形OAEC是正方形，則可得OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED，所以有，則可得OG=EF，由OG∥AE可得，即可得到，從而求得結(jié)果.

（1）連接OC

∵CE是⊙O的切線

∴∠OCE=90°

∵OA=OC，OD⊥AC

∴∠COE=∠AOE

∵OA=OC，∠COE=∠AOE，OE=OE

∴△COE≌△AOE(SAS)

∴∠OAE=∠OCE=90°

∴OA⊥AE

∴AE與⊙O相切；

（2）設(shè)BF與OC相交于點(diǎn)G

∵EC∥AB

∴∠AEC=∠OAE=90°

∵∠AEC=∠OAE=∠OCE=90°

∴四邊形OAEC是矩形

∵OA=OC

∴矩形OAEC是正方形

∴OG∥AE，AE=AO=6，OD=ED

∵OG∥AE

∴

∴OG=EF

∵OG∥AE

∴

∴

∴.

考點(diǎn)：圓的綜合題

點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見(jiàn)，一般作為壓軸題，題目比較典型．