Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，PQ垂直平分BE，分別交AD、BE、BC于點(diǎn)P、O、Q，連接BP、EQ．

（1）求證：四邊形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F為AB的中點(diǎn)，OF =4，求菱形BPEQ的周長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）25.

【解析】分析：（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)證明PB=PE，由ASA證明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，證出四邊形ABGE是平行四邊形，再根據(jù)菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由三角形中位線定理得AE的長(zhǎng)，設(shè)PE=y，則AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，由勾股定理可求得y的值，即可得到結(jié)論．

詳解：（1）∵PQ垂直平分BE，∴QB=QE，OB=OE．

∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠PEO=∠QBO，

在△BOQ與△EOP中．

∵∠PEO=∠QBO，OB=OE，∠POE=∠QOB，

∴△BOQ≌△EOP（ASA），

∴PE=QB，

又∵AD∥BC，∴四邊形BPEQ是平行四邊形，

又∵QB=QE，∴四邊形BPEQ是菱形；

（2）∵O，F分別為PQ，AB的中點(diǎn)，OF=4 ∴AE=8，

設(shè)PE=y，則AP=8-y，BP=PE=y．在Rt△ABP中，62+（8-y）2=y2，解得：y=，

∴菱形BPEQ的周長(zhǎng)=25．