Question

（2010•武漢模擬）如圖，△ABC內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CD平分∠ACB交⊙O于點D，交AB于點F，弦AE⊥CD于點H，連接CE、OH．
（1）求證：△ACE∽△CFB；
（2）若AC=6，BC=4，求OH的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）△ACE、△CFB中，已知的相等角有∠CEA=∠CBA（同弧所對的圓周角），只需再找出一組對應角相等即可；易知∠ACB是直角，由于CD平分∠ACB，則∠ACH=∠FCB=45°；在Rt△CAH中，易證得∠HAC=45°，則∠CAH=∠FCB，由此得證；
（2）本題需通過構建直角三角形求解；延長CB交AE的延長線于M；由于∠ACB=90°，∠CAE=45°，易證得△CAM是等腰Rt△，由此可求出CM、BM的長；△ACM中，根據等腰三角形三線合一的性質可知：H是AM的中點，則OH是△ABM的中位線，即OH=BM，由此得解．
解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°；
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠FCB=45°；
∵AE⊥CD，
∴∠CAE=45°=∠FCB；
在△ACE與△BCF中，∠CAE=∠FCB，∠E=∠B，
∴△ACE∽△CFB；

（2）解：延長AE、CB交于點M；
∵∠FCB=45°，∠CHM=90°，
∴∠M=45°=∠CAE；
∴HA=HC=HM，CM=CA=6；
∵CB=4，
∴BM=6-4=2；
∵OA=OB，HA=HM，
∴OH是△ABM的中位線，
∴OH=BM=1．
點評：此題考查了圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、三角形中位線定理等知識的綜合應用．