Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋3與x軸交于點A（－4，0），B（－1，0）兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在第三象限的拋物線上有一動點D．如圖，若四邊形ODAE是以OA為對角線的平行四邊形，當平行四邊形ODAE的面積為6時，請判斷平行四邊形ODAE是否為菱形？說明理由．

Answer 1

（1）y=x2+x+3．；（2）當點D為（-2，-）時，DH垂直平分OA，平行四邊形ODAE為菱形；當點D為（-3，-）時，OD≠AD，平行四邊形ODAE不為菱形．

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）本問需結合菱形、平行四邊形的性質來進行分析．如圖，作輔助線，求出點D的坐標，進而判斷平行四邊形ODAE是否為菱形.

試題解析：（1）把點A（-4，0）、B（-1，0）代入解析式y(tǒng)=ax2+bx+3，

得

，

解得，

∴拋物線的解析式為：y=x2+x+3．

（2）如圖，過點D作DH⊥x軸于點H．

∵S?ODAE=6，OA=4，

∴S△AOD=OA•DH=3，

∴DH=．

因為D在第三象限，所以D的縱坐標為負，且D在拋物線上，

∴x2+x+3=-，

解得：x1=-2，x2=-3．

∴點D坐標為（-2，-）或（-3，-）．

當點D為（-2，-）時，DH垂直平分OA，平行四邊形ODAE為菱形；

當點D為（-3，-）時，OD≠AD，平行四邊形ODAE不為菱形．

考點：二次函數綜合題．