Question

【題目】如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AB=10cm，BC=12cm，點(diǎn)E、F、G分別從A、B、C三點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿矩形的邊按逆時(shí)針方向勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)速度為1cm/s，點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)速度為3cm/s，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為1.5cm/s，當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)點(diǎn)C（即點(diǎn)F與點(diǎn)C重合）時(shí)，三個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中，△EBF關(guān)于直線EF的對稱圖形是△EB′F．設(shè)點(diǎn)E、F、G運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）．

（1）當(dāng)t=s時(shí)，四邊形EBFB′為正方形；
（2）若以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）2.5
（2）

解：分兩種情況，討論如下：

①若△EBF∽△FCG，

則有 ，即 ，

解得：t=2.8；

②若△EBF∽△GCF，

則有 ，即 ，

解得：t=﹣14﹣2 （不合題意，舍去）或t=﹣14+2 ．

∴當(dāng)t=2.8s或t=（﹣14+2 ）s時(shí)，以點(diǎn)E、B、F為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)F，C，G為頂點(diǎn)的三角形相似

（3）

解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合．

如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于點(diǎn)M，則在Rt△OFM中，OF=BF=3t，F(xiàn)M= BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，

由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，

即：52+（6﹣3t）2=（3t）2

解得：t= ；

過點(diǎn)O作ON⊥AB于點(diǎn)N，則在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，

由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，

即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2

解得：t=3.9．

∵ ≠3.9，

∴不存在實(shí)數(shù)t，使得點(diǎn)B′與點(diǎn)O重合

【解析】解：（1）若四邊形EBFB′為正方形，則BE=BF，BE=10﹣t，BF=3t，
即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（1）利用正方形的性質(zhì)，得到BE=BF，列一元一次方程求解即可；（2）△EBF與△FCG相似，分兩種情況，需要分類討論，逐一分析計(jì)算；（3）本問為存在型問題．假設(shè)存在，則可以分別求出在不同條件下的t值，它們互相矛盾，所以不存在．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用相似三角形的應(yīng)用，掌握測高：測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，通常用“在同一時(shí)刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達(dá)兩點(diǎn)間的舉例，常構(gòu)造相似三角形求解即可以解答此題．