Question

【題目】已知：如圖，BD是△ABC的角平分線，點E、F分別在AB、BC上，且ED//BC，EF//AC．

(1)求證：BE=DE；

(2)當AB=AC時，試說明四邊形EFCD為菱形．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析．

【解析】

（1）根據(jù)BD是△ABC的角平分線，可得∠EBD=∠DBC，ED//BC，可知∠EDB=∠DBC，通過等量代換知∠EBD=∠EDB，故BE=DE；

（2）通過已知易證：四邊形EFCD為平行四邊形，可知∠EFB=∠C，又因為∠ABC=∠C，可得∠ABC=∠EFB，即BE=EF，通過（1）的結(jié)論，即可證得EF=DE，利用有兩條鄰邊相等的平行四邊形為菱形，即可證明．

解：（1）∵BD是△ABC的角平分線，

∴∠EBD=∠DBC，

又∵ED//BC，

∴∠EDB=∠DBC（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），

∴∠EBD=∠EDB（等量代換）．

∴BE=DE．

（2）∵ED//BC，EF//AC，

∴四邊形EFCD是平行四邊形，

∴∠EFB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠C

∴∠ABC=∠EFB，

∴BE=EF，

由（1）知BE=DE，

∴EF=DE．

∴四邊形EFCD為菱形．