Question

【題目】已知：拋物線y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）與x軸交于點(diǎn)AB（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）．

（1）不論a取何值，拋物線總經(jīng)過(guò)第三象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖，當(dāng)AC⊥BC時(shí)，求a的值和AB的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)P為拋物線在第四象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為h，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)D，作PE∥AC交BC于點(diǎn)E，設(shè)△ADE的面積為S，請(qǐng)求出S與h的函數(shù)關(guān)系式，并求出S取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）第三象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)C為（﹣1，﹣3）；（2）a＝，AB＝；（3）S＝﹣h2+h﹣，當(dāng)h＝時(shí)，S的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P（，﹣ ）．

【解析】

（1）對(duì)拋物線解析式進(jìn)行變形，使a的系數(shù)為0，解出x的值，即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為M，根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸可求出M的坐標(biāo)，然后利用勾股定理求出CM的長(zhǎng)度，再利用直角三角形的斜邊的中線等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)度，則A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)可求，再將A,B兩點(diǎn)代入解析式中即可求出a的值；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PH于點(diǎn)F，先用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，然后將P,D的坐標(biāo)用含h的代數(shù)式表示出來(lái)，最后利用S＝S△ABE﹣S△ABD＝×AB×（yD﹣yE）求解

（1）y＝2ax2﹣ax﹣3（a+1）＝a（2x2﹣x﹣3）﹣3，

令2x2﹣x﹣3＝0，解得：x＝或﹣1，

故第三象限內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)C為（﹣1，﹣3）；

（2）函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為：x＝，

設(shè)函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸與x軸交點(diǎn)為M，則其坐標(biāo)為：（，0），

則由勾股定理得CM＝，

則AB＝2CM＝ ，

∴

則點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0）、（，0）；

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式得：18a+3a﹣3a﹣3＝0，

解得：a＝ ，

函數(shù)的表達(dá)式為：y＝（x+3）（x﹣）＝x2﹣x﹣ ；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PH于點(diǎn)F，

設(shè)：∠ABC＝α，則∠ABC＝∠HPE＝∠DEF＝α，

設(shè)直線BC的解析式為

將點(diǎn)B、C坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式

得 解得：

∴直線BC的表達(dá)式為：，

設(shè)點(diǎn)P（h，），則點(diǎn)D（h，），

故tan∠ABC＝tanα＝ ，則sinα＝ ，

yD﹣yE＝DEsinα＝PDsinαsinα，

S＝S△ABE﹣S△ABD

＝×AB×（yD﹣yE）

＝

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當(dāng)h＝ 時(shí)，S的最大值為：，此時(shí)點(diǎn)P（）．