Question

【題目】如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y＝ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y＝x+m過頂點C和點B．

（I）求點B的坐標(biāo)；

（Ⅱ）求二次函數(shù)y＝ax2+b（a≠0）的解析式；

（Ⅲ）拋物線y＝ax2+b（a≠0）上是否存在點M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（I）（3，0）；（Ⅱ）y＝；（Ⅲ）（3，6）或（，﹣2）．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點C（0，﹣3），直線y＝x+m過點C和點B，可以求得直線的解析式，從而可以求得點B的坐標(biāo)；

（Ⅱ）根據(jù)點B和點C的坐標(biāo)可以求得二次函數(shù)的解析式；

（Ⅲ）根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的圖形，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和銳角三角函數(shù)可以求得點M的坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）∵點C（0，﹣3），直線y＝x+m過點C和點B，

∴﹣3＝0+m，得m＝﹣3，

∴y＝x﹣3，

當(dāng)y＝0時，0＝x﹣3，得x＝3，

∴點B的坐標(biāo)為（3，0）；

（Ⅱ）∵拋物線y＝ax2+b過點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴，得，

∴拋物線的解析式為y＝；

（Ⅲ）拋物線y＝ax2+b（a≠0）上存在點M，使得∠MCB＝15°，

∵點B（3，0），點C（0，﹣3），

∴OC＝OB＝3，

∵∠BOC＝90°，

∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

當(dāng)∠M1CB＝15°時，設(shè)點M1的坐標(biāo)為（m1，），

則∠M1CO＝30°，

∴，

解得，m1＝3或m1＝0（舍去），

當(dāng)m1＝3時，﹣3＝6，

即點M1的坐標(biāo)為（3，6）；

當(dāng)M2CB＝15°時，設(shè)點M2的坐標(biāo)為（m2，），

則∠M2CO＝60°，

∴，

解得，m2＝或m2＝0（舍去），

當(dāng)m2＝時，＝﹣2，

即點M2的坐標(biāo)為（，﹣2）；

由上可得，點M的坐標(biāo)為（3，6）或（，﹣2）．