Question

（1）如圖①，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點且∠EAF=45°．猜測線段EF、BE、FD三者存在哪種數(shù)量關系？直接寫出結論．（不用證明）結論：________．
（2）如圖②，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF是∠BAD的一半．（1）中猜測的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

Answer 1

解：（1）延長CB到G，使BG=FD，

∵∠ABG=∠D=90°，AB=AD，
∴△ABG≌△ADF，
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE=∠EAF，
∴∠EAF=∠GAE，
∴△AEF≌△AEG，
∴EF=EG=EB+BG=EB+DF．
故答案為：EF=BE+FD；

（2）結論成立，應為EF=BE+DF，
在CD的延長線上截取DG=BE，（如圖）
∵BE=DG，AB=AD，
∠B=∠ADG=90°，
∴△ABE≌△ADG，
∴∠BAE=∠DAG，AG=AE，
∵∠EAF=∠BAD，
∴∠EAF=∠FAG，
AF=AF，AE=AG，
∴△AEF≌△AFG（SAS），
∴EF=FG=DF+DG=EB+DF．
分析：（1）延長CB到G，使BG=FD，根據(jù)已知條件容易證明△ABG≌△ADF，由此可以推出∠BAG=∠DAF，AG=AF，而∠EAF=∠BAD，所以得到∠DAF+∠BAE=∠EAF，進一步得到∠EAF=∠GAE，現(xiàn)在可以證明△AEF≌△AEG，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)就可以證明結論成立；
（2）在CD上截取DG=BE，利用BE=DG，AB=AD，∠B=∠ADG=90°，得出△ABE≌△ADG，進而得出△AEF≌△AFG即可得出答案．
點評：此題是開放性試題，首先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．