Question

如圖①，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，DE與⊙O相切于點E，點C為DE延長線上一點，且CE=CB。

（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）如圖②，連接AE，AE的延長線與BC的延長線交于點G。若，求線段BC和EG的長。

 

Answer 1

【答案】

（1）連接OE，OC，先根據(jù)“SSS”證得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，從而證得結(jié)果；（2）BC=，

【解析】

試題分析：（1）連接OE，OC，先根據(jù)“SSS”證得△OBC≌△OEC，即可得到∠OBC=∠OEC，再根據(jù)切線的性質(zhì)可得∠OEC=90，即可得到∠OBC=90，從而證得結(jié)果；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)切線的性質(zhì)可得DA=DE，CE=CB，設(shè)BC為，則CF=x-2，DC=x+2，在Rt△DFC中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠EGC，由DA=DE可得∠DAE=∠AED，再結(jié)合∠AED=∠CEG即可求得CG=CE=CB=，再根據(jù)勾股定理求得AG的長，然后證得△ADE∽△GCE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）連接OE，OC，

 

∵CB=CE，OB=OE，OC=OC，

∴△OBC≌△OEC，

∴∠OBC=∠OEC，

又∵與DE⊙O相切于點E，

∴∠OEC=90，

∴∠OBC=90，

∴BC為⊙的切線；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，

∵AD，DC，BG分別切⊙O于點A，E，B，

∴DA=DE，CE=CB，設(shè)BC為，則CF=x-2，DC=x+2，

在Rt△DFC中，，解得，

∵AD∥BG

∴∠DAE=∠EGC，

∵DA=DE

∴∠DAE=∠AED，

∵∠AED=∠CEG，

∴∠ECG=∠CEG。

∴CG=CE=CB=

∴BG=5，

∴

∵∠DAE="∠EGC" ，∠AED=∠CEG

∴△ADE∽△GCE，

∴，，解得.

考點：圓的綜合題

點評：本題知識點多，綜合性強(qiáng)，難度較大，一般是中考壓軸題，需仔細(xì)分析.