Question

已知拋物線y=x²+bx+c過點(diǎn)（-6,-2），與y軸交于點(diǎn)C，且對稱軸與x軸交于點(diǎn)B（-2,0），頂點(diǎn)為A.
（1）求該拋物線的解析式和A點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)D是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且使△DBC是以B為直角頂點(diǎn)BC為腰的等腰直角三角形，求點(diǎn)D坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)M是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)M的直線MN與y軸交于點(diǎn)N，是否存在以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OMB全等？若存在，請求出直線MN的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，6）；
（2）D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，﹣2）；
（3）存在．直線MN的解析式為y=6或y=﹣x+2．

試題分析：（1）首先依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)先求出b的值，然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）過B點(diǎn)作CB的垂線交拋物線與D，然后過D點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為E，通過三角形全等即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（3）由于三角形的各邊，只有OB=2是確定長度的，因此可以以O(shè)B為基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論：
①OB=OM．因?yàn)榈诙�象限�?nèi)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離均大于4，因此OB≠OM，此種情形排除；
②OB=ON．分析可知，只有如答圖2所示的情形成立；
③OB=MN．分析可知，只有如答圖3所示的情形成立．
試題解析：（1）∵對稱軸與x軸交于點(diǎn)B（﹣2，0），
∴A的橫坐標(biāo)為：x=﹣2，
∴﹣=﹣2，
解得；b=﹣2，
∴拋物線為y=﹣x²﹣2x+c，
∵拋物線y=﹣x²+bx+c過點(diǎn)（﹣6，﹣2），
∴代入得﹣2=﹣×（﹣6）²﹣2×（﹣6）+c，解得c=4，
∴該拋物線的解析式為：y=﹣x²﹣2x+4，
∴y=﹣x²﹣2x+4=﹣（x²+4x+4）+6）=﹣（x+2）²+6
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，6）；
（2）過B點(diǎn)作CB的垂線交拋物線與D，然后過D點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為E，
∵∠CBD=90°，
∴∠CBO+∠EBD=90°，
∵∠BCO+∠CBO+90°，
∴∠EBD=∠BCO，∠CBO=∠BDE，
∴在△CBO與△BDE中

∴△CBO≌△BDE（ASA）
∴DE=OB=2，BE=OC=4
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）或（﹣6.2），
把（2，﹣2）或（﹣6.2）分別代入y=﹣x²﹣2x+4，（﹣2，2）合適，（﹣6，2）不合適，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，﹣2）

圖1
（3）存在．
若以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OBM全等，可能有以下情形：
（I）OB=OM．
由圖象可知，OM最小值為4，即OM≠OB，故此種情形不存在．
（II）OB=ON．
若點(diǎn)M在y軸正半軸上，如答圖2所示：

圖2
此時(shí)△OBM≌△OMN，
∴∠OMB=∠OMN，即點(diǎn)P在第二象限的角平分線上，ON=OB=2，M點(diǎn)坐標(biāo)為：（4，4），
∴直線PE的解析式為：y=﹣x+2；
若點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上，易知此種情形下，兩個(gè)三角形不可能全等，故不存在．
（III）OB=MN．
∵OB=2，
∴第二象限內(nèi)對稱軸左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離均大于2，
則點(diǎn)M只能位于對稱軸右側(cè)或與頂點(diǎn)A重合．
若點(diǎn)M位于第二象限內(nèi)拋物線對稱軸的右側(cè)，易知△OMN為鈍角三角形，而△OMB為銳角三角形，則不可能全等；
若點(diǎn)M與點(diǎn)A重合，如答圖3所示，此時(shí)△OBM≌△OMN，四邊形MNOB為矩形，

圖3
∴直線MN的解析式為：y=6．
綜上所述，存在以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OMB全等，直線MN的解析式為y=6，y=﹣x+2．