Question

已知拋物線．
（1） 求證：無論為任何實數(shù)，拋物線與軸總有兩個交點；
（2） 若A、B是拋物線上的兩個不同點，求拋物線的解析式和的值；
（3） 若反比例函數(shù)的圖象與（2）中的拋物線在第一象限內(nèi)的交點的橫坐標為，且滿足2<<3，求k的取值范圍.

Answer 1

（1）證明：令，得
，不論m為任何實數(shù)，都有，即，∴不論m為任何實數(shù)，拋物線與x軸總有兩個交點
（2）拋物線的解析式為，
（3）

解析試題分析：（1）通過計算函數(shù)的值，由此可以寫出一道表達式，再根據(jù)表達式的值恒大于零，可以算得拋物線有于x軸總有兩個交點
（2）拋物線的對稱軸為，∵拋物線上兩個不同點A，B，的縱坐標相同，∴點A和點B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，則
，∴，∴拋物線的解析式為，∵A在拋物線上，∴，化簡，得，∴
（3）當時，對于，y隨著x的增大而增大，對于，y隨著x的增大而減小，所以當時，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)圖象上方，得，解得，當時，由二次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方，得，解得，所以k的取值范圍為
考點：函數(shù)圖象與x軸的交點問題，函數(shù)圖象與解析式的轉(zhuǎn)換，兩個不同的函數(shù)圖象的比較
點評：本題難度一般。第一小題較為容易，利用拋物線函數(shù)與一元二次方程方程的相似性，可以用來進行計算；第二小題，利用對稱軸與函數(shù)圖象上各點的對稱性，算出m值，進而求出函數(shù)的解析式；第三小題，利用兩個不同函數(shù)的單調(diào)性，進行比較