Question

如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點E．

（1）求證：△ADE∽△BCE；

（2）如果AD²=AE•AC，求證：CD=CB．

　

Answer 1

【考點】圓周角定理；相似三角形的判定與性質．

【專題】證明題．

【分析】（1）由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠B，又由對頂角相等，可證得：△ADE∽△BCE；

（2）由AD²=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可證得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直徑，以求得AC⊥BD，由垂徑定理即可證得CD=CB．

【解答】證明：（1）如圖，∵∠A與∠B是對的圓周角，

∴∠A=∠B，

又∵∠1=∠2，

∴△ADE∽△BCE；

（2）如圖，

∵AD²=AE•AC，

∴，

又∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠AED=∠ADC，

又∵AC是⊙O的直徑，

∴∠ADC=90°，

 即∠AED=90°，

∴直徑AC⊥BD，

∴=，

∴CD=CB．

【點評】此題考查了圓周角定理、垂徑定理一相似三角形的判定與性質．此題難度不大，注意數形結合思想的應用．