Question

類比、轉(zhuǎn)化、分類討論等思想方法和數(shù)學(xué)基本圖形在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和解題中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整。

原題：如圖1，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，∠AOC=90°，AB=3，CD=4，則BD=           。

⑴嘗試探究：如圖2，在⊙O中，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，點(diǎn)E在MN上，∠AEC=90°，AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，則CD=           （試寫出解答過(guò)程）。

⑵類比延伸：利用圖3，再探究，當(dāng)A、C兩點(diǎn)分別在直徑MN兩側(cè)，且AB≠CD，AB⊥MN于點(diǎn)B，CD⊥MN于點(diǎn)D，∠AOC=90°時(shí)，則線段AB、CD、BD滿足的數(shù)量關(guān)系為       。

⑶拓展遷移：如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)A（m，6），B（n，1）兩點(diǎn)（其中0＜m＜3），且以y軸為對(duì)稱軸，且∠AOB=90°，①求mn的值；②求拋物線的解析式。

Answer 1

解：原題：∵AB⊥MN，CD⊥MN，

∴∠ABO=∠ODC=90° ∠BAO+∠AOB=90°

∵∠AOC=90°    ∴∠DOC+∠AOB=90°

∴∠BAO=∠DOC  又∵OA=OC ∴△AOB≌△ODC（AAS）

∴OD=AB=3，OB=CD=4，∴BD=OB+OD=7

 

嘗試探究：∵AB⊥MN，CD⊥MN，∴∠ABE=∠CDE=90°

∠BAE+∠AEB=90°∵∠AEC=90°∴∠DEC+∠AEB=90°

∴∠BAE=∠DEC ∴△ABE∽△EDC

∴

∵AB=3，BD=8，BE：DE=1:3，

∴BE=2，DE=6 ∴ ∴CD=4

⑵類比延伸：

如圖3（a）CD=AB+BD；

如圖3（b）AB=CD+BD

 

⑶拓展遷移：

①     作軸于C點(diǎn)，軸于D點(diǎn)，

點(diǎn)坐標(biāo)分別為，

∴，又∵∠AOB=90°

∴∠BCO=∠ODA=90°，∠OBC=∠AOD

∴，

∴。

②由①得，，又，∴，

即，

又

∴坐標(biāo)為（2，6），B坐標(biāo)為（－3，1），

代入得拋物線解析式為