Question

【題目】已知拋物線與軸交于點，其關于軸對稱的拋物線為：，且經過點和點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將拋物線沿軸向右平移得到拋物線，拋物線與軸的交點記為點和點（在的右側），與軸交于點，如果滿足與相似，請求出平移后拋物線的表達式．

Answer 1

【答案】（1）的解析式為；（2）平移后拋物線的表達式為或.

【解析】

（1）根據拋物線關于軸對稱的原則可以得到均互為相反數，所以可以設：，同時經過點和點，那么也經過點和點，將這兩點代入即可求解；

（2）首先根據函數圖像的平移原則，設拋物線沿軸向右平移個單位得到拋物線

，繼而寫出的解析式，然后分別求出點和點的坐標，再結合與相似，可得△DOQ為等腰直角三角形，利用坐標建立方程，求解即可.

解：（1）拋物線和拋物線關于軸對稱，且：，

： ，

經過點和點，

經過點和點，

把點和點代入：可得：

，

解得：，

：；

（2）設拋物線沿軸向右平移個單位得到拋物線，

：，

的解析式可以表示為：

，

拋物線與軸的交點為點和點，且在的右側，

，

拋物線與軸交于點，

，

∵A（-3，0），C（0，3），

∴△AOC為等腰直角三角形，

∴當△AOC和△DOQ相似時，

△DOQ為等腰直角三角形，

∴OQ=OD，

當點Q在y軸正半軸上時，

OQ=OD=OA=OC，

∴，

解得：a=0（舍）或2，

此時：；

當點Q在y軸負半軸時，

OD=OQ，

則，

解得：a=-1（舍）或4，

此時：；

綜上：平移后拋物線W3的表達式為：或.