Question

【題目】如圖，拋物線頂點P（1，4），與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A，B．

（1）求拋物線的解析式．

（2）Q是拋物線上除點P外一點，△BCQ與△BCP的面積相等，求點Q的坐標(biāo)．

（3）若M，N為拋物線上兩個動點，分別過點M，N作直線BC的垂線段，垂足分別為D，E．是否存在點M，N使四邊形MNED為正方形？如果存在，求正方形MNED的邊長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）①Q（2，3）；②Q2（， ），Q3（，）；（3）存在點M，N使四邊形MNED為正方形，MN=9或．理由見解析.

【解析】

（1）設(shè)出拋物線頂點坐標(biāo)，把C坐標(biāo)代入求出即可；

（2）由△BCQ與△BCP的面積相等，得到PQ與BC平行，①過P作作PQ∥BC，交拋物線于點Q，如圖1所示；②設(shè)G（1，2），可得PG=GH=2，過H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點H，分別求出Q的坐標(biāo)即可；

（3）存在點M，N使四邊形MNED為正方形，如圖2所示，過M作MF∥y軸，過N作NF∥x軸，過N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)直線解析式為y=-x+b，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系表示出NF2，由△MNF為等腰直角三角形，得到MN2=2NF2，若四邊形MNED為正方形，得到NE2=MN2，求出b的值，進(jìn)而確定出MN的長，即為正方形邊長．

（1）設(shè)y=a（x﹣1）2+4（a≠0），

把C（0，3）代入拋物線解析式得：a+4=3，即a=﹣1，

則拋物線解析式為y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；

（2）由B（3，0），C（0，3），得到直線BC解析式為y=﹣x+3，

∵S△OBC=S△QBC，

∴PQ∥BC，

①過P作PQ∥BC，交拋物線于點Q，如圖1所示，

∵P（1，4），∴直線PQ解析式為y=﹣x+5，

聯(lián)立得：，

解得：或，即Q（2，3）；

②設(shè)G（1，2），∴PG=GH=2，

過H作直線Q2Q3∥BC，交x軸于點H，則直線Q2Q3解析式為y=﹣x+1，

聯(lián)立得：，

解得：或，

∴Q2（，），Q3（，）；

（3）存在點M，N使四邊形MNED為正方形，

如圖2所示，過M作MF∥y軸，過N作NF∥x軸，過N作NH∥y軸，則有△MNF與△NEH都為等腰直角三角形，

設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），設(shè)直線MN解析式為y=﹣x+b，

聯(lián)立得：，

消去y得：x2﹣3x+b﹣3=0，

∴NF2=|x1﹣x2|2=（x1+x2）2﹣4x1x2=21﹣4b，

∵△MNF為等腰直角三角形，

∴MN2=2NF2=42﹣8b，

∵NH2=（b﹣3）2，∴NF2=（b﹣3）2，

若四邊形MNED為正方形，則有NE2=MN2，

∴42﹣8b=（b2﹣6b+9），

整理得：b2+10b﹣75=0，

解得：b=﹣15或b=5，

∵正方形邊長為MN=，

∴MN=9或．