Question

【題目】以點P為端點豎直向下的一條射線PN，以它為對稱軸向左右對稱擺動形成了射線PN1，PN2，我們規(guī)定：∠N1PN2為點P的“搖擺角”，射線PN搖擺掃過的區(qū)域叫作點P的“搖擺區(qū)域”（含PN1，PN2）．

在平面直角坐標系xOy中，點P（2，3）．

（1）當(dāng)點P的搖擺角為60°時，請判斷O（0，0）、A（1，2）、B（2，1）、C（2+，0）屬于點P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點是　 　（填寫字母即可）；

（2）如果過點D（1，0），點E（5，0）的線段完全在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點P的搖擺角至少為　 　°；

（3）⊙W的圓心坐標為（a，0），半徑為1，如果⊙W上的所有點都在點P的搖擺角為60°時的搖擺區(qū)域內(nèi)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) B、C；（2）90°；（3）2﹣≤a≤2+.

【解析】

（1）根據(jù)題意作出圖象，從而得到答案；

（2）如圖所示，當(dāng)射線PN1過點D時，由對稱性可知，此時點E不在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

當(dāng)射線PN2過點E時，由對稱性可知，此時點D在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，易知：此時PQ＝QE，從而得到∠EPQ的度數(shù)，從而得到答案；

（3）設(shè)直線PN1與x軸交于點M，⊙W與射線PN1相切于點N，P為端點豎直向下的一條射線PN與x軸交于點Q，由題意可知：∠PMW＝60°，利用三角函數(shù)求出MW，MQ的值，從而得到OM，OW的值，得到兩個W的坐標，從而得到a的取值范圍.

解：（1）根據(jù)“搖擺角”作出圖形，如圖所示，

將O、A、B、C四點在平面直角坐標系中描出，后，

可以發(fā)現(xiàn)，B、C在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

故屬于點P的搖擺區(qū)域內(nèi)的點是B、C

（2）如圖所示，當(dāng)射線PN1過點D時，

由對稱性可知，此時點E不在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

當(dāng)射線PN2過點E時，

由對稱性可知，此時點D在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，

易知：此時PQ=QE，

∴∠EPQ=45°，

∴如果過點D（1，0），點E（5，0）的線段完全在點P的搖擺區(qū)域內(nèi)，那么點P的搖擺角至少為90°

（3）如果⊙W上的所有點都在點P的搖擺角為60°時的搖擺區(qū)域內(nèi)，

此時⊙W與射線PN1相切，

設(shè)直線PN1與x軸交于點M，⊙W與射線PN1相切于點N，P為端點豎直向下的一條射線PN與x軸交于點Q，

由定義可知：∠PMW=60°，

∵NW=1，PQ=3，

∴sin∠PMW=，tan∠PMW=

∴MW=，MQ=，

∴OM=2﹣，

∴OW=OM+MW=2﹣+=2﹣

∴此時W的坐標為：（2﹣，0）

由對稱性可知：當(dāng)⊙W與射線PN2相切時，

此時W的坐標為：（2+，0）

∴a的范圍為：2﹣≤a≤2+