如圖,已知矩形ABCD.
(1)在圖中作出△CDB沿對角線BD所在直線對折后的△C′DB,C點的對應點為C′(用尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,簡要寫明作法,不要求證明);
(2)設C′B與AD的交點為E.
①若DC=3cm,BC=6cm,求△BED的面積;
②若△BED的面積是矩形ABCD的面積的,求的值.

【答案】分析:(1)分別以B、D為圓心,以BC、CD的長為半徑畫弧,兩弧的交點就是所要找的點C′;
(2)①根據(jù)折疊對稱性和平行線的性質∠C′BD=∠EDB,所以BE=ED,在△ABE中利用勾股定理求出BE的長度,再根據(jù)三角形的面積公式,代入數(shù)據(jù)計算即可;
②根據(jù)三角形與矩形的面積關系求出ED與AD的關系,從而得到ED=2AE,所以∠ABE=30°,又∠CBD=∠EDB,所以∠CBD=30°,就等于30°角的正切值.
解答:解:(1)作法:分別以點B、D為圓心,BC、CD半徑作弧,兩弧相交于點C′,使點C′與點C分別在直線BD的兩側.

(2)①由折疊可知,∠CBD=∠C′BD,
∵矩形ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠CBD=∠EDB,
∴∠C′BD=∠EDB,
∴BE=ED,(3分)
設BE=x,則ED=x,AE=AD-ED=6-x,
在Rt△ABE中,AE2+AB2=BE2,(4分)
即:(6-x)2+9=x2
解得:x=(5分)
所以△BED的面積為×ED×AB=××3=;(6分)

②∵△BED的面積是矩形ABCD的面積的,
=
=,(7分)
法1:∴=,
∴在Rt△ABE中,∠ABE=30°,(8分)
從而∠DBC=30°,
=tan30°=.(9分)
法2:設AE=m,得BE=2m,AD=3m,(7分)
AB=m(8分)得=.(9分)
點評:本題利用翻折前后圖形全等的性質,矩形的對邊平行、四個角都是直角的性質和勾股定理,熟練掌握性質和定理是解題的關鍵.
練習冊系列答案
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精英家教網(wǎng)如圖,已知矩形DEFG內接于Rt△ABC,D在AB上,E、F在BC上,G在AC上,∠BAC=90°,AB=6cm,AC=8cm,S矩形DEFG=
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,則矩形的邊長DG=
 

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如圖,已知矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點M沿AB方向從A向B以2cm/秒的速度移動,點N從D沿DA方向以1c精英家教網(wǎng)m/秒的速度移動,如果M、N兩點同時出發(fā),移動的時間為x秒(0≤x≤6).
(1)當x為何值時,△MAN為等腰直角三角形?
(2)當x為何值時,有△MAN∽△ABC?
(3)愛動腦筋的小紅同學在完成了以上聯(lián)系后,對該問題作了深入的研究,她認為:在M、N的移動過程中(N不與D、A重合,M不與A、B重合),以A、M、C、N為頂點的四邊形面積是一個常數(shù).她的這種想法對嗎?請說出理由.

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如圖,已知正三角形ABC的邊長AB是480毫米.一質點D從點B出發(fā),沿BA方向,以每秒鐘10毫米的速度向精英家教網(wǎng)點A運動.
(1)建立合適的直角坐標系,用運動時間t(秒)表示點D的坐標;
(2)過點D在三角形ABC的內部作一個矩形DEFG,其中EF在BC邊上,G在AC邊上.在圖中找出點D,使矩形DEFG是正方形(要求所表達的方式能體現(xiàn)出找點D的過程);
(3)過點D、B、C作平行四邊形,當t為何值時,由點C、B、D、F組成的平行四邊形的面積等于三角形ADC的面積,并求此時點F的坐標.

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(2012•寧德質檢)如圖,已知Rt△ABC,∠B=90°,AB=8,BC=6,把斜邊AC平均分成n段,以每段為對角線作邊與AB、BC平行的小矩形,則這些小矩形的面積和是(  )

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如圖,已知矩形ABCD中AB:BC=3:1,點A、B在x軸上,直線y=mx+n(0<m<n<
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),過點A、C交y軸于點E,S△AOE=
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S矩形ABCD,拋物線y=ax2+bx+c過點A、B,且頂點G在直線y=mx+n上,拋物線與y軸交于點F.
(1)點A的坐標為
(-3n,0)
(-3n,0)
;B的坐標
(-n,0)
(-n,0)
(用n表示);
(2)abc=
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