Question

【題目】若兩個二次函數(shù)圖象的頂點，開口方向都相同，則稱這兩個二次函數(shù)為“同簇二次函數(shù)”。

（1）請寫出兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)；

（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2—4mx+2m2+1，和y2=ax2+bx+5，其中y1的圖象經(jīng)過點A（1，1），若y1+y2為y1為“同簇二次函數(shù)”，求函數(shù)y2的表達(dá)式，并求當(dāng)0≤x≤3時，y2的最大值。

Answer 1

【答案】（1）本題為開放題，答案不唯一，符合題意即可，如：；

（2），當(dāng)時，的最大值為20.

【解析】

試題(1)、只需任選一個點作為頂點，同號兩數(shù)作為二次項的系數(shù)，用頂點式表示兩個為“同簇二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可．(2)、由y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)y2的表達(dá)式，然后將函數(shù)y2的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為頂點式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)就可以解決問題．

試題解析：(1)、設(shè)頂點為（h，k）的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a（x﹣h）2+k， 當(dāng)a=2，h=3，k=4時，

二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2（x﹣3）2+4． ∵2＞0， ∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．

當(dāng)a=3，h=3，k=4時， 二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3（x﹣3）2+4． ∵3＞0，∴該二次函數(shù)圖象的開口向上．

∵兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4頂點相同，開口都向上，

∴兩個函數(shù)y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函數(shù)”．

∴符合要求的兩個“同簇二次函數(shù)”可以為：y=2（x﹣3）2+4與y=3（x﹣3）2+4．

(2)、∵y1的圖象經(jīng)過點A（1，1）， ∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1． 整理得：m2﹣2m+1=0． 解得：m1=m2=1．

∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1， ∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），

∵y1+y2與y1為“同簇二次函數(shù)”， ∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4， ∴函數(shù)y2的表達(dá)式為：y2=x2﹣2x+1．

∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2， ∴函數(shù)y2的圖象的對稱軸為x=1． ∵1＞0，

∴函數(shù)y2的圖象開口向上． 當(dāng)0≤x≤3時，∵函數(shù)y2的圖象開口向上， ∴y2的取值范圍為0≤y2≤4．