Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，D（0，8），將矩形OBCD折疊，使得頂點(diǎn)B落在CD邊上的P點(diǎn)處．

（1）如圖①，已知折痕與邊BC交于點(diǎn)A，若OD=2CP，求點(diǎn)A的坐標(biāo)．
（2）若圖①中的點(diǎn) P 恰好是CD邊的中點(diǎn)，求∠AOB的度數(shù)．
（3）如圖②，在（I）的條件下，擦去折痕AO，線段AP，連接BP，動(dòng)點(diǎn)M在線段OP上（點(diǎn)M與P，O不重合），動(dòng)點(diǎn)N在線段OB的延長線上，且BN=PM，連接MN交PB于點(diǎn)F，作ME⊥BP于點(diǎn)E，試問當(dāng)點(diǎn)M，N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度（直接寫出結(jié)果即可

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵D（0，8），

∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，

∴CP=4，

設(shè)OB=OP=DC=x，

則DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+（x﹣4）2=x2，

解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，

則AC= =3，

∴AB=5，

∴點(diǎn)A（10，5）；

（2）

解：∵點(diǎn) P 恰好是CD邊的中點(diǎn)，

設(shè)DP=PC=y，

則DC=OB=OP=2y，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：82+y2=（2y）2，

解得：y= ，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：y=y：AC，

則AC= = ，

∴AB=8﹣ = ，

∵OB=2y= ，

∴tan∠AOB= = = ，

∴∠AOB=30°；

（3）

解：作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，如圖2，

∵AP=AB，MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵M(jìn)P=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ= PQ．

∵M(jìn)Q∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

在△MFQ和△NFB中，

，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF= QB，

∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB，

由（1）中的結(jié)論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= =4 ，

∴EF= PB=2 ，

∴在（1）的條件下，當(dāng)點(diǎn)M、N在移動(dòng)過程中，線段EF的長度不變，它的長度為2 ．

【解析】（1）設(shè)OB=OP=DC=x，則DP=x﹣4，在Rt△ODP中，根據(jù)OD2+DP2=OP2 ， 解得：x=10，然后根據(jù)△ODP∽△PCA得到AC= =3，從而得到AB=5，表示出點(diǎn)A（10，5）；（2）根據(jù)點(diǎn)P恰好是CD邊的中點(diǎn)設(shè)DP=PC=y，則DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根據(jù)OD2+DP2=OP2 ， 解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC= = ，從而利用tan∠AOB= 得到∠AOB=30°；（3）作MQ∥AN，交PB于點(diǎn)Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根據(jù)ME⊥PQ，得出EQ= PQ，根據(jù)∠QMF=∠BNF，證出△MFQ≌△NFB，得出QF= QB，再求出EF= PB，由（1）中的結(jié)論求出PB，最后代入EF= PB即可得出線段EF的長度不變．