Question

【題目】如圖，的直徑，，是的兩條切線，切于，交于，設，，．

（1）求與的函數關系式；

（2）若，是的兩實根，求，的值；

（3）在（2）的前提下，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）45

【解析】

（1）作DF⊥BN交BC于F；根據切線長定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據勾股定理，就可以求出y與x的關系；
（2）由（1）求得xy=36，然后由根與系數的關系求得a的值，通過解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是圓 O的兩條切線，DC切圓 O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，利用三角形面積公式即可求解．

（1）如圖，作DF⊥BN交BC于F；

∵AM、BN與O切于點A、 B，

∴AB⊥AM，AB⊥BN．

又∵DF⊥BN，

∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，

∴四邊形ABFD是矩形，

∴BF=AD=x，DF=AB=12，

∵BC=y，

∴FC=BCBF=yx；

∵DE切O于E，

∴DE=DA=x，CE=CB=y，

則DC=DE+CE=x+y，

在Rt△DFC中，

由勾股定理得：(x+y)2=(yx)2+122，

整理為：，

∴y與x的函數關系式是．

（2）由（1）知xy=36，

x，y是方程2t230t+a=0的兩個根，

∴根據韋達定理知，xy=，即a=72；

∴原方程為t215t+36=0，

解得或

∵x<y，

∴；

（3）如圖，連接OD，OE，OC，

∵AD，BC，CD是圓O的切線，

∴OE⊥CD，AD=DE=3，BC=CE=12，

∴S△COD=