Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝90° ，以AD為直徑的半圓D與BC相切．

(1)求證：OB⊥OC；

(2)若AD＝12，∠BCD＝60° ，⊙O₁與半⊙O外切，并與BC、CD相切，求⊙O₁的面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵AB，BC，CD均與半圓O相切，∴∠ABO＝∠CBO，∠DCD＝∠BCO． 　　又AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180° ，即∠ABO＋∠CBO＋∠BCO＋∠DCO＝180° ． 　　∴2∠CBO＋2∠BCO＝180° ，于是∠CBO＋∠BCO＝90° ， 　　∴∠BOC＝180° －(∠CBO＋∠BCO)＝180° －90° ＝90° ，即OB⊥OC． 　　(2)設(shè)CD切⊙O1于點(diǎn)M，連接O1M，則O1M⊥CD．設(shè)⊙O1的半徑為r． 　　∵∠BCD＝60° ，且由(1)知∠BCO＝∠O1CM，∴∠O1CM＝30° ． 　　在Rt△O1CM中，CO1＝2O1M＝2r．在Rt△OCD中，OC＝2OD＝AD＝12． 　　∵⊙O1與半圓D外切，∴OO1＝6＋r，于是，由OO1＋O1C＝OC有6＋r＋2r＝12， 　　解得r＝2，因此⊙O1的面積為4p ．