Question

【題目】菱形中，對角線，，動點、分別從點、同時出發(fā)，運動速度都是，點由向運動；點由向運動，當到達點時，，兩點運動停止，設時間為秒．連接，，．

　　　　

（1）當為何值時，；

（2）設的面積為，請寫出與的函數(shù)關系式；

（3）當為何值時，的面積是四邊形面積的；

（4）是否存在值，使得線段經(jīng)過的中點；若存在，求出值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=1；（2）；（3）；（4）

【解析】

（1）如圖3中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得，由此構建方程即可解決問題；

（2）如圖1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根據(jù)y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，計算即可解決問題；

（3）由△APQ的面積是四邊形AQPD面積的，推出S△APQ=2S△APD，由此構建方程即可解決問題；

（4）如圖4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC=，可得，由此構建方程即可解決問題；

解：（1）如圖3中，作CH⊥AB于H交BD于M．

易知CH=，AH=

∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，

∴△COM∽△CHA，

∴，

∴，

∴OM=，

∵PQ⊥AB，CH⊥AB，

∴PQ∥CM，

∴，

∴，

∴t=1，

∴t=1s時，PQ⊥AB．

（2）如圖1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，

∴∠COD=90°，

∴CD==5，

∵ACOD=CDAM，

∴AM=，

∵OQ=CP=t，

∴DQ=4+t．PD=5-t．

∵PH∥OC，

∴

∴，

∴PH=（5-t），

∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP

=（4+t）3+（4+t）（5-t）-（5-t）

=-t2+t（0＜t≤4）．

（3）如圖2中，

∵△APQ的面積是四邊形AQPD面積的，

∴S△APQ=2S△APD，

∴-t2+t=2（5-t），

解得t=15-或15+（舍棄），

∴t=15-時，△APQ的面積是四邊形AQPD面積的．

（4）如圖4中，作PH⊥ACspan>于H．

∵OQ∥PH，ON=NC=，

∴，

∴，

∴t=，

∴t=時，PQ經(jīng)過線段OC的中點N．