Question

【題目】如果一個(gè)多位自然數(shù)的任意兩個(gè)相鄰數(shù)位上，左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上數(shù)大1，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“妙數(shù)”．例如：321，6543，98，…都是“妙數(shù)”．

（1）若某個(gè)“妙數(shù)”恰好等于其個(gè)位數(shù)的153倍，則這個(gè)“妙數(shù)”為 ．

（2）證明：任意一個(gè)四位“妙數(shù)”減去任意一個(gè)兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結(jié)果一定能被11整除．

（3）在某個(gè)三位“妙數(shù)”的左側(cè)放置一個(gè)一位自然數(shù)m作為千位上的數(shù)字，從而得到一新的四位自然數(shù)A，且m大于自然數(shù)A百位上的數(shù)字，否存在一個(gè)一位自然數(shù)n，使得自然數(shù)（9A+n）各數(shù)位上的數(shù)字全都相同？若存在請(qǐng)求出m和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）765（2）證明見解析（3）m=9，n=4

【解析】

試題分析：（1）設(shè)這個(gè)“妙數(shù)”個(gè)位數(shù)字為a，根據(jù)題意判斷“妙數(shù)”的尾位數(shù)，從而得知這個(gè)“妙數(shù)”為3位數(shù)，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；

（2）設(shè)四位“妙數(shù)”的個(gè)位為x、兩位“妙數(shù)”的個(gè)位為y，分別表示出四位“妙數(shù)”和兩位“妙數(shù)”，再將四位“妙數(shù)”減去任意一個(gè)兩位“妙數(shù)”之差再加上1的結(jié)果除以11判斷結(jié)果是否為整數(shù)即可；

（3）設(shè)三位“妙數(shù)”的個(gè)位為z，可知A=1000m+111z+210，繼而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位數(shù)一定是8，且該數(shù)為5位數(shù)，若存在則該數(shù)為88888，從而得出，即9m+z=87、n﹣z=﹣2，由m＞z+2知z＜m﹣2，而z=87﹣9m＜m﹣2，解之可得m＞8.9，即可得m值，進(jìn)一步即可得答案．

試題解析：（1）設(shè)這個(gè)“妙數(shù)”個(gè)位數(shù)字為a，

若這個(gè)“妙數(shù)”為4位數(shù)，則其個(gè)位數(shù)字最大為6，根據(jù)題意可知這個(gè)“妙數(shù)”最大為6×153=918，不合題意；

∴這個(gè)“妙數(shù)”為3位數(shù)，根據(jù)題意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，

解得：x=5，

則這個(gè)“妙數(shù)”為765，

故答案為：765；

（2）由題意，設(shè)四位“妙數(shù)”的個(gè)位為x，則此數(shù)為1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，

設(shè)兩位“妙數(shù)”的個(gè)位為y，則此數(shù)為10（y+1）+y=11y+10，

∴=101x﹣y+291，

∵x、y為整數(shù)，

∴101x﹣y+291也為整數(shù)，

∴任意一個(gè)四位“妙數(shù)”減去任意一個(gè)兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結(jié)果一定能被11整除；

（3）設(shè)三位“妙數(shù)”的個(gè)位為z，由題意，得：

A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，

∴9A+n=9000m+999z+1890+n

=9000m+1000z+1890+n﹣z

=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，

∵m、n是一位自然數(shù)，0≤z≤9，且z為整數(shù)，

∴﹣8≤n﹣z≤9，

∵9A+n的百位為8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，

∴9A+n為五位數(shù)，且9A+n=88888，

∴，

∴9m+z=87，n﹣z=﹣2，

∵m＞z+2，

∴z＜m﹣2，

∴z=87﹣9m＜m﹣2，

∴m＞8.9，

∵m是一個(gè)自然數(shù)，

∴m=9，

于是z=6，n=4，

答：m=9，n=4．