Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A是雙曲線在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AO并延長與這個(gè)雙曲線的另一分支交于點(diǎn)B，以AB為底邊作等腰直角三角形ABC，使得點(diǎn)C位于第四象限。

（1）點(diǎn)C與原點(diǎn)O的最短距離是________；

（2）沒點(diǎn)C的坐標(biāo)為（，點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)的過程中，y隨x的變化而變化，y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________。

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）先根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性及等腰直角三角形的性質(zhì)可得OC=OA=OB，利用勾股定理求出AO的長為，再配方得，根據(jù)非負(fù)性即可求出OA的最小值，進(jìn)而即可求解；

（2）先證明△AOD≌△COE可得AD=CE，OD=OE，然后根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)表示出A的坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出y與x 的函數(shù)解析式.

解：（1）連接OC，過點(diǎn)A作AD⊥y軸，如圖，

，
∵A是雙曲線在第一象限的分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長AO交另一分支于點(diǎn)B，

∴OA=OB，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，

∴當(dāng)OA的長最短時(shí)，OC的長為點(diǎn)C與原點(diǎn)O的最短距離，

設(shè)A（m，），

∴AD=m，OD=，

∴OA===，

∵，

∴當(dāng)時(shí)，OA=為最小值，

∴點(diǎn)C與原點(diǎn)O的最短距離為.

故答案為；

（2）過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為E，如上圖，

∴∠ADO=∠CEO=90°，

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴OC=OA=OB，OC⊥AB，

∴∠COE+∠AOE=90°，

∵∠AOD+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠COE，

∴△AOD≌△COE（AAS），

∴AD=CE，OD=OE，

∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)(x＞0)，

∴OE=x，CE=-y，

∴OD=x，AD=-y，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-y，x），

∵A是雙曲線第一象限的一點(diǎn)，

∴，即，

∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（x>0）.

故答案為（x>0）.