Question

【題目】已知：關(guān)于x的函數(shù)y=kx2+k2x﹣2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，

（1）當(dāng)k=﹣2時(shí)，求圖象與x軸的公共點(diǎn)個數(shù)；

（2）若圖象與x軸有一個交點(diǎn)為A，當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，求k的值．

（3）若x≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）圖象與x軸公共點(diǎn)只有一個；（2）k的值為﹣1+或﹣1﹣或1；（3）﹣2≤k＜0．

【解析】分析：（1）△=b2-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)（或者把k=-2代入函數(shù)關(guān)系，直接求得拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)）；
（2）根據(jù)△AOC是等腰直角三角形易求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過方程來求k的值；
（3）由“k≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下．則k<0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，故﹣≤1，即≤1.

詳解：（1）方法一：當(dāng)k=﹣2時(shí)，函數(shù)為y=﹣2x2+4x﹣2，

∵b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×（﹣2）=0.

∴圖象與x軸公共點(diǎn)只有一個．

方法二：當(dāng)k=﹣2時(shí)，函數(shù)為y=﹣2x2+4x﹣2，

令y=0，則﹣2x2+4x﹣2=0，

解得：x1=x2=1，

∴圖象與x軸公共點(diǎn)只有一個；

（2）當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，

∵∠AOC=90°，OC=2，

∴可得OA=OC=2.

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）或（﹣2，0）．

把x=2，y=0代入解析式 得2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=﹣1+，k1=﹣1﹣，

把x=﹣2，y=0代入解析式 得﹣2k2+4k﹣2=0，

解得 k1=k2=1．

∴k的值為﹣1+或﹣1﹣或1；

（3）由“x≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下，

∴k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，

∴﹣≤1，即≤1．

解不等式組，

解得﹣2≤k＜0．