Question

（2009•德化縣質檢）已知直線l₁：與直線l₂：相交于點B（，2），且直線l₂與x軸相交于點A．
（1）求A點的坐標；
（2）點C在線段AB上，過C點作CD∥OB，交x軸于D點，已知以線段CD為直徑的⊙M與直線l₁相切．
①求⊙M的半徑r；
②若把△OAB繞著原點O逆時針旋轉90°得到△OA'B'，在y軸上是否存在一點P，使得⊙P與⊙M、以OA'為直徑的⊙N都相切？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：本題先由兩直線相交于點B，求出b值，進而求出點A的坐標．（2）問中要根據題意畫出圖形，按照直線與圓的幾種位置關系列出關系式求解．
解答：解：（1）依題意可知：
y=-2（2+）×2+b，
解得：b=8+4；
∴直線l₂：y=-（2+）x+8+4．
由y=0得：0=-（2+）x+8+4，解得x=4；
∴A（4，0）．

（2）①設點M到直線l₁的距離為d，過點A作AE⊥l₁于點E；
在Rt△AOE中，AE=，OA=2，
∵CD∥l₁，
∴，
∴d=2-r；
∵OM與l₁相切，
∴2-r=r，即r=1；
②容易求得M（2+，），
設⊙P的半徑為R，
根據兩圓相切的性質可得：
（一）當⊙P與⊙M、⊙N都外切時，得：
（R+1）²=（2+）²+（R+）²，解得R=4+，
∴P₁（0，-4-），
（二）當⊙N、⊙M都與⊙P內切時，得：
（R-1）²=（2+）²+（R-）²，
解得R=
∴P₂（0，）；
綜上所述，滿足條件的P點的坐標為P₁（0，-4-），P₂（0，）．
點評：本題綜合考查了一次函數與幾何知識的應用，題中運用圓與直線的關系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關鍵．