Question

18．已知O為直線AB上一點(diǎn)，射線OD，OC，OE位于直線AB上方，OD在OE的左側(cè)，∠AOC=120°，∠DOE=80°．
（1）如圖，當(dāng)OD平分∠AOC時(shí)，求∠EOB的度數(shù)；
（2）點(diǎn)F在射線OB上，
①若射線OF繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180且n≠60），∠FOA=3∠AOD，請(qǐng)判斷∠FOE和∠EOC的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；
②若射線OF繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)n°（0＜n＜180），∠FOA=2∠AOD，OH平分∠EOC，當(dāng)∠FOH=∠AOC時(shí)，則n=68°或164°．

Answer 1

分析 （1）利用角平分線和圖形尋找出角之間的關(guān)系即可得出結(jié)論；
（2）分兩種情況，畫出圖形，找出角之間的關(guān)系即可求出結(jié)論；
（3）分三種情況同（2）的方法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵OD平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOC=60°，
∵∠DOE=80°．
∴∠COE=∠DOE-∠COD=20°，
∴∠AOE=∠AOC+∠COE=120°+20°=140°
∴∠BOE=180°-∠AOE=40°，
（2）①當(dāng)OE在OC的右側(cè)，即：0°＜n＜60°
如圖，

∵∠AOC=120°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-∠AOD，
∵∠DOE=80°，
∴∠COE=∠DOE-∠COD=80°-（120°-∠AOD）=∠AOD-40°，
∵∠FOA=3∠AOD，
∴∠EOF=∠AOF-∠AOE=3∠AOD-（∠AOC+∠COE）
=3∠AOD-（120°+∠AOD-40°）=3∠AOD-80°-∠AOD=2∠AOD-80°=2（∠AOD-40°）=2∠COE；
當(dāng)OE在OC左側(cè)時(shí)，即：60°＜n＜180°，
如圖2，

∵∠AOC=120°，
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=120°-∠AOD，
∵∠DOE=80°，
∴∠COE=∠COD-∠DOE=120°-∠AOB-80°=40°-∠AOD；
∵∠FOA=3∠AOD，
∴∠EOF=∠AOC-∠AOF-∠COE=120°-3∠AOD-（40°-∠AOD）
=80°-2∠AOD=2（40°-∠AOD）=2∠COE，
即：∠EOF=2∠COE．
（3）當(dāng)OE在OC的右側(cè)，如圖3，

設(shè)∠COH=∠HOE=α，
∴∠COD=∠DOE-∠COE=80°-2α，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=120°-（80°-2α）=40°+2α，
∵∠FOA=2∠AOD=2（40°+2α）=80°+4α，
∵∠BOF=180°-∠FOA=180°-∠FOA=180°-（80°+4α）=100°-4α，
∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=60°-2α，
∴∠FOH=∠HOE+∠BOE+∠BOF
=α+（60°-2α）+（100°-4α）
=160°-5α，
∵∠FOH=∠AOC=120°，
∴160°-5α=120°，
∴α=8°，
∴n=∠BOF=100°-4α=68°，
當(dāng)OE與OC重合（OH，OE，OC為同一條射線），
如圖4，

此時(shí)：∠FOH=160°≠∠AOC，舍去；
當(dāng)OE在OC的左側(cè)時(shí)，如圖6，

設(shè)∠COH=∠HOE=α，
∴∠COD=∠DOE+∠COE=80°+2α，
∵∠AOC=120°，
∴∠AOD=∠AOC-∠COD=40°-2α，
∵∠FOA=2∠AOD=2（40°-2α）=80°-4α，
∴∠FOH=∠AOC-∠COH+∠AOF=200°-5α，
∵∠FOH=∠AOC，
∴200°-5α=120°，
∴α=16°，
∵∠BOF=180°-∠FOA=180°-（80°-4α）=100°+4α，
∴n=∠BOF=100°+4α=164°．
∴n=68°或n=164°．

點(diǎn)評(píng) 此題是角的計(jì)算，主要考查了角平分線，綜合性較強(qiáng)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題的能力，是否能根據(jù)題意，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)禺嫵鰣D形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．